Участник:Isbur/Избранные задачи

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

http://www.theormech.math.msu.su/Obuchenie/index.htm - задачник

http://www.theormech.math.msu.su/Obuchenie/Material/Files/YAkimova%20K%5B1%5D.E.%20(red.),%20Salnikova%20T.V.%20(sost.),%20YAkimova%20K.E.%20(sost.)%20Zadachnik%20po%20analiticheskoj%20mehanike%20(2004)(ru)(103s).zip - прямая ссылка

Глава 3[править]

Задача 3.3[править]

Условие[править]

Изображение3.3salnikovaRastrized.png

Цилиндр диаметром d и массой т может катиться без скольжения по горизонтальной плоскости. Две одинаковые пружины жёсткости с прикреплены посередине его длины на расстоянии а от оси цилиндра; противоположные концы пружин закреплены. Определить период малых колебаний цилиндра.

Решение[править]

Ответ[править]

Задача 3.4[править]

Условие[править]

Изображение3.4salmikova.png

Неоднородный диск радиуса R и массы М, центр масс С которого расположен на расстоянии а от его геометрического центра О, может катиться без проскальзывания по горизонтальной направляющей. Момент инерции диска относительно оси, перпендикулярной его плоскости и проходящей через центр масс равен J. Найти малые колебания системы около устойчивого положения равновесия.

Решение[править]

Задача 3.27[править]

Условие[править]

Изображение3.27-2salnikova.png

Два груза массы т каждый, соединённые между собой пружиной жёсткости с, а с неподвижными стенками пружинами жёсткости 2с каждая, могут скользить по гладкой горизонтальной направляющей. К каждому грузу подвешен математический маятник массы и длины l. Найти малые колебания системы. При вычислениях положить .

Решение[править]

Задача 3.28[править]

Условие[править]

Изображение3.28-2salnikova.png

Двойной физический маятник состоит из однородного прямолинейного стержня длины 2а и массы т1, вращающегося вокруг неподвижной горизонтальной оси О1, и из однородного прямолинейного стержня АВ массы т2, шарнирно соединённого в своём центре масс с концом O2 первого стержня. Определить движение системы, если в начальный момент стержень О1O2 отклонён на угол φ0 от вертикали, а стержень АВ занимает вертикальное положение и имеет начальную угловую скорость ω0.

Решение[править]




При

Задача 3.32[править]

Условие[править]

Изображение3.32salnikova.png

К бруску массы М, который может двигаться по гладкой горизонтальной направляющей, подвешен двойной маятник, причём

Найти малые колебания системы в окрестности стационарного движения, если при 𝑡 = 0

Решение[править]




При и

Задача 3.35[править]

Изображение3.35salnikova.png

Трубка, имеющая форму окружности радиуса а, может вращаться без трения вокруг вертикального диаметра АВ; момент инерции трубки относительно диаметра равен J. В трубке может перемещаться без трения материальная точка массы т. Когда трубка вращается с постоянной скоростью ω0, точка находится в положении относительного равновесия М0 , причём . Найти период колебаний около положения М0, которые будет совершать точка, если ей сообщить небольшую относительную скорость, направленную по касательной к трубке.

Глава 4[править]

Задача 4.2[править]

Изображение4.2-2salnikova.png

Гладкая трубка АВ вращается с постоянной угловой скоростью ω вокруг вертикальной оси CD, составляя с ней неизменный угол . В трубке находится тяжёлый шарик массы т. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения шарика, если его начальная относительная скорость равна нулю и начальное расстояние от точки О равно а.

2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и найти решение канонических уравнений методом Якоби.

Задача 4.4[править]

Изображение4.4-2salnikova.png

Точка массы т под действием собственного веса движется по циклоиде

,

расположенной в вертикальной плоскости. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если при t = 0 Θ = 0, v = v0 .В качестве обобщённой координаты взять дугу циклоиды s = . 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и общее решение задачи методом Якоби.

Задача 4.5[править]

Изображение4.5.2salnikova.png

Тяжёлая точка М массы т движется по поверхности круглого цилиндра радиуса r, ось которого вертикальна. 1) Решить задачу Коши для канонических уравнений движения точки, если её начальная скорость равна по величине v0 и составляет угол α с горизонтом. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и закон движения точки методом Якоби.

Задача 4.9[править]

Изображение4.9-2salnikova.png

Материальная точка массы т подвешена с помощью стержня длины l к плоскому шарниру, горизонтальная ось которого вращается вокруг вертикали с постоянной скоростью ω. Составить канонические уравнения движения. Найти их первый интеграл. Массой стержня пренебречь.

Задача 4.11[править]

Точка массы т движется по гладкой сфере радиуса R в однородном поле силы тяжести (сферический маятник). Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и полный набор первых интегралов канонических уравнений движения. Положение точки задать её сферическими координатами: φ — широта, отсчитываемая от вертикали, направленной вниз, Θ — долгота.

Задача 4.18[править]

Две материальные точки массы т1 и т2 связаны гибкой нерастяжимой нитью. Точка массы т1 может двигаться по гладкому горизонтальному столу, а точка массы т2 находится на свисающем конце нити, которая пропущена через небольшое отверстие в столе. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, если точка массы т2 может двигаться только по вертикали. Выписать первые интегралы канонических уравнений движения.

Задача 4.19[править]

Две материальные точки массы т1 и т2 связаны между собой упругим стержнем жёсткости с и помещены на гладкую горизонтальную плоскость; стержень не работает на изгиб и на кручение и в нерастянутом состоянии имеет длину I; массой стержня пренебречь. 1) Выписать первые интегралы канонических уравнений движения системы. 2) Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби и решение задачи методом Якоби. За обобщённые координаты принять х, у — декартовы координаты центра масс, r — длину стержня и φ — угол, определяющий положение стержня.

Задача 4.20[править]

Свободная материальная точка массы т движется под действием ньютоновской силы притяжения к неподвижному центру О. Приняв за обобщённые координаты сферические координаты точки r, φ, Θ, найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби, выписать полную систему первых интегралов канонических уравнений движения точки. Доказать, что движение плоское, выполняется закон площадей; получить уравнение траектории.

Задача 4.21[править]

(Задача двух тел). Сила взаимодействия двух точек массы т1 и т2 обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (ньютоновское или кулоновское взаимодействие). Найти полный интеграл уравнений Гамильтона — Якоби; выписать полную систему первых интегралов канонических уравнений движения. В качестве обобщённых координат взять координаты центра масс системы х, у, z, расстояние r между точками, а также углы широты и долготы φ и Θ, определяющие в пространстве положение прямой, соединяющей точки. Сравнить полученный ответ с ответом задачи 4.20.

Задача 4.28[править]

Для разделения переменных в уравнении Гамильтона — Якоби для точки в сферических координатах r, θ, φ необходимо и достаточно, чтобы потенциал заданных сил имел вид:

где R(r), Θ(θ) и Φ(φ) — произвольные функции. Найти полный интеграл.

Задача 4.29[править]

Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для точки массы т, движущейся в поле с потенциалом

(например, наложение полей ньютоновского притяжения к началу координат и однородного поля силы тяжести (k' = mg)).

Указание. За независимые переменные принять параболические координаты ξ, η, φ, которые с цилиндрическими координатами р, ζ, φ связаны так:

Задача 4.31[править]

Показать справедливость следующего случая интегрируемости (Штеккеля). Пусть даны n(n+1) произвольных функций и , для которых определитель не равен тождественно нулю. Тогда если кинетическая энергия и потенциальная энергия определяются формулами

причем

то уравнение Гамильтона — Якоби интегрируется в квадратурах и полный интеграл этого уравнения имеет вид

где — произвольные постоянные, а h — постоянная энергии.

Глава 5[править]

Задача 5.1[править]

Доказать свойства скобок Пуассона:

1)

2) Если , то

3)

4)

Задача 5.5[править]

Функция φ(q, p, t) является первым интегралом канонических уравнений движения системы с циклической координатой qk. Показать, что функции

также будут первыми интегралами уравнений движения.

Задача 5.12[править]

Рассмотреть преобразования

проверить их каноничность, найти производящие функции и валентности, а также выражения для новой функции Гамильтона, если старая равна H.

Задача 5.14[править]

Найти производящую функцию и формулы преобразования импульсов, если задано преобразование декартовых координат в перечисленные ниже:

1) цилиндрические ρ, φ, z;

2) сферические r, φ, Θ;

3) х = q1-v1t, у = q2-v2t, z = q3-v3t;