Комплексный анализ I/Билеты/Определение интеграла и его свойства

Определение. Путь в ${\textstyle \mathbb {C} }$: ${\textstyle z(t),\quad t\in [0,1],\quad z\in C[0,1]}$.

Определение. Два пути ${\textstyle z_{1}(t),t\in \left[\alpha _{1},\beta _{1}\right]}$ и ${\textstyle z_{2}(t),t\in \left[\alpha _{2},\beta _{2}\right]}$ называются эквивалентными, если существует гомеоморфизм ${\textstyle \lambda :\left[\alpha _{1},\beta _{1}\right]\leftrightarrow \left[\alpha _{2},\beta _{2}\right]}$ такой, что:

${\textstyle \left\{{\begin{aligned}z_{2}(\lambda (t))&=z_{1}(t)\\\lambda \left(\alpha _{1}\right)&=\alpha _{2}\\\lambda \left(\beta _{1}\right)&=\beta _{2}\end{aligned}}\right.}$

Определение. Кривая в ${\textstyle \mathbb {C} }$ это класс эквивалентных путей (геометрический образ отрезка с выбранным направлением).

Определение. ${\textstyle \sqsupset \gamma \subset \mathbb {C} }$ кривая, ${\textstyle f:\gamma \rightarrow \mathbb {C} }$. Интегралом по кривой ${\textstyle \gamma }$ от функции ${\textstyle f}$ называется следующий предел (если он существует):

${\textstyle {\begin{array}{c}{\int f(z)dz=\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)\right)}\\{\delta _{T}=\max _{k}\left|t_{k}-t_{k-1}\right|,\tau _{k}\in \left[t_{k-1},t_{k}\right]\left(or\;\tau _{k}\in \left[t_{k},t_{k-1}\right]\right)}\end{array}}}$

Утверждение. (корректность определения)

Если для пути ${\textstyle z_{1}(t)}$ существует предел ${\textstyle \lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}f\left(z_{1}\left(\tau _{k}\right)\right)\left(z_{1}\left(t_{k}\right)-z_{1}\left(t_{k-1}\right)\right)}$, то он существует и для любого другого эквивалентного пути ${\textstyle z_{2}(t)}$, и эти пределы совпадают.

Доказательство. Интегральная сумма для первого пути равна ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}f\left(z_{1}\left(\tau _{k}\right)\right)\left(z_{1}\left(t_{k}\right)-z_{1}\left(t_{k-1}\right)\right)}$.

Интегральная сумма для второго пути равна ${\textstyle \sum _{k=1}^{n}f\left(z_{2}\left(\sigma _{k}\right)\right)\left(z_{2}\left(s_{k}\right)-z_{2}\left(s_{k-1}\right)\right)}$.

По определению эквивалентных путей ${\textstyle \exists }$ гомеоморфизм ${\textstyle \lambda :z_{1}(\lambda (s))=z_{2}(s)}$. Перепишем вторую интегральную сумму:

${\textstyle \sum _{k=1}^{n}f\left(z_{2}\left(\sigma _{k}\right)\right)\left(z_{2}\left(s_{k}\right)-z_{2}\left(s_{k-1}\right)\right)=\sum _{k=1}^{n}f\left(z_{1}\left(\lambda \left(\sigma _{k}\right)\right)\right)\left(z_{1}\left(\lambda \left(s_{k}\right)\right)-z_{1}\left(\lambda \left(s_{k-1}\right)\right)\right)}$

Определение. ${\textstyle |\gamma |=\sup _{T}\sum _{k=1}^{n}\left|z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)\right|}$

Теорема. (без доказательства)

Если ${\textstyle \gamma }$ спрямляема (то есть ${\textstyle |\gamma |<\infty }$), ${\textstyle f(z)\in C(\gamma )}$, то ${\textstyle \exists }$ ${\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz}$

Свойства интеграла

1) ${\textstyle \int _{\gamma ^{-}}f(z)dz=-\int _{\gamma }f(z)dz}$, где ${\textstyle \gamma ^{-}}$ это ${\textstyle \gamma }$ в противоположном направлении

2) ${\textstyle \int _{\gamma }cf(z)dz=c\int _{\gamma }f(z)dz\quad \forall c\in \mathbb {C} }$

3) ${\textstyle \int _{\gamma }(f(z)\pm g(z))dz=\int _{\gamma }f(z)dz\pm \int _{\gamma }g(z)dz}$ (если эти оба интеграла существуют)

4) ${\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }(udx-vdy)+i\int _{\gamma }(udy+vdx)}$

Доказательство. ${\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz=\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)\right)=}$

${\textstyle {\begin{array}{c}{=\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}\left(u\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)+iv\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\right)\left(\left[x_{k}-x_{k-1}\right]+i\left[y_{k}-y_{k-1}\right]\right)=}\\{=\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\left(\sum _{k=1}^{n}\left[u\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)-v\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(y_{k}-y_{k-1}\right)\right]+i\sum _{k=1}^{n}\left[u\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(y_{k}-y_{k-1}\right)+\right.\right.}\\{+v\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(x_{k}-x_{k-1}\right)])=\int _{\gamma }(udx-vdy)+i\int _{\gamma }(udy+vdx)}\end{array}}}$

5) если ${\textstyle \gamma }$ спрямляема, то ${\textstyle \left|\int _{\gamma }f(z)dz\right|\leq \int _{\gamma }|f(z)||dz|\leq \sup _{z\in \gamma }|f(z)|*|\gamma |}$

Доказательство. ${\textstyle \left|\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)\right)\right|\leq \lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}\left|f\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\right|*\left|z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)\right|\leq }$

${\textstyle \leq \lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}\sup _{z\in \gamma }|f(z)|*\left|z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)\right|=\sup _{z\in \gamma }|f(z)|*\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}\left|z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)\right|=\sup _{z\in \gamma }|f(z)|*|\gamma |}$

6) если ${\textstyle \gamma }$ гладкая кривая (${\textstyle \exists z(t):z^{\prime }(t)\in C[\alpha ,\beta ]),f\in C(\gamma )}$), то ${\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz=(R)\int _{\alpha }^{\beta }f(z(t))z^{\prime }(t)dt}$ (R символизирует, что интеграл римановский).

Доказательство. Запишем интегральные суммы для левого и для правого интегралов:

${\textstyle {\begin{aligned}s_{1}&=\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)\right)\\s_{2}&=\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)z^{\prime }\left(\tau _{k}\right)\left(t_{k}-t_{k-1}\right)\\z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)&=\left(x\left(t_{k}\right)-x\left(t_{k-1}\right)\right)+i\left(y\left(t_{k}\right)-y\left(t_{k-1}\right)\right)\end{aligned}}}$

К функциям ${\textstyle x}$ и ${\textstyle y}$ применим теорему Лагранжа:

${\textstyle {\begin{array}{c}{x\left(t_{k}\right)-x\left(t_{k-1}\right)=x^{\prime }\left(\theta _{k}\right)\left(t_{k}-t_{k-1}\right)}\\{y\left(t_{k}\right)-y\left(t_{k-1}\right)=y^{\prime }\left(\sigma _{k}\right)\left(t_{k}-t_{k-1}\right)}\\{z\left(t_{k}\right)-z\left(t_{k-1}\right)=\left(t_{k}-t_{k-1}\right)\left(x^{\prime }\left(\theta _{k}\right)+iy^{\prime }\left(\sigma _{k}\right)\right)}\\{s_{1}-s_{2}=\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(t_{k}-t_{k-1}\right)\left[x^{\prime }\left(\theta _{k}\right)+iy^{\prime }\left(\sigma _{k}\right)-x^{\prime }\left(\tau _{k}\right)-iy^{\prime }\left(\tau _{k}\right)\right]}\end{array}}}$

В силу условия,что ${\textstyle z^{\prime }(t)\in C[\alpha ,\beta ]}$, при достаточно малых ${\textstyle \delta _{T}}$ выражение в квадратных скобках будет меньше любого положительного ${\textstyle \varepsilon }$, поэтому при достаточно малых ${\textstyle \delta _{T}}$:

${\textstyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}f\left(z\left(\tau _{k}\right)\right)\left(t_{k}-t_{k-1}\right)\left[x^{\prime }\left(\theta _{k}\right)+iy^{\prime }\left(\sigma _{k}\right)-x^{\prime }\left(\tau _{k}\right)-iy^{\prime }\left(\tau _{k}\right)\right]\leq \max _{z\in \gamma }|f(z)|\sum _{k=1}^{n}\varepsilon \left(t_{k}-t_{k-1}\right)=\\=\max _{z\in Y}|f(z)|*\varepsilon *(\beta -\alpha )\end{aligned}}}$

Так как ${\textstyle \varepsilon }$ может быть сколь угодно малым, то при ${\textstyle \delta _{T}\rightarrow 0}$ получаем:

${\textstyle \int _{\gamma }f(z)dz-(R)\int _{\alpha }^{\beta }f(z(t))z^{\prime }(t)dt=0}$

7) ${\textstyle f_{n}\rightrightarrows f}$ на ${\textstyle \gamma }$, ${\textstyle f_{n}\in C(\gamma ),f\in C(\gamma ),\gamma }$ спрямляемая, тогда ${\textstyle \int _{\gamma }f_{n}(z)dz\rightarrow \int _{\gamma }f(z)dz}$

Доказательство. ${\textstyle \int _{\gamma }f_{n}(z)dz-\int _{\gamma }f(z)dz=\int _{\gamma }\left(f_{n}(z)-f(z)\right)dz\leq \sup _{z\in \gamma }\left|f_{n}(z)-f(z)\right|*|\gamma |}$

${\textstyle \sup _{z\in \gamma }\left|f_{n}(z)-f(z)\right|\rightarrow 0}$ при ${\textstyle n\rightarrow \infty }$ (по критерию равномерной сходимости), значит, ${\textstyle \int _{\gamma }f_{n}(z)dz-\int _{\gamma }f(z)dz\rightarrow 0}$ при ${\textstyle n\rightarrow \infty }$, то есть, ${\textstyle \int _{\gamma }f_{n}(z)dz\rightarrow \int _{\gamma }f(z)dz}$

Пример. ${\textstyle \int _{\gamma }1dz=\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}1\left(z_{k}-z_{k-1}\right)=z(\beta )-z(\alpha )=t_{n}-t_{0}=b-a}$, где a начало ${\textstyle \gamma }$, b конец ${\textstyle \gamma }$.

Пример. ${\textstyle \int _{\gamma }zdz,\gamma }$ спрямляема, с началом a и концом b.

${\textstyle \int _{\gamma }zdz=\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}z_{k}\left(z_{k}-z_{k-1}\right)}$

С другой стороны,

${\textstyle \int _{\gamma }zdz=\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}z_{k-1}\left(z_{k}-z_{k-1}\right)}$

Значит,

${\textstyle {\begin{array}{c}{\int _{\gamma }zdz=\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\left(z_{k}+z_{k-1}\right)\left(z_{k}-z_{k-1}\right)}{2}}=\lim _{\delta _{T}\rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}{\frac {z_{k}^{2}-z_{k-1}^{2}}{2}}={\frac {z_{n}^{2}-z_{0}^{2}}{2}}={\frac {b^{2}-a^{2}}{2}}}\\{\int _{\gamma }zdz={\frac {b^{2}-a^{2}}{2}}}\end{array}}}$

Пример. ${\textstyle \int _{|z|=1}{\frac {1}{z}}dz}$

Параметризуем окружность: ${\textstyle z=e^{it},t\in (0,2\pi )}$

По шестому свойству:

${\textstyle \int _{|z|=1}{\frac {1}{z}}dz=\int _{0}^{2\pi }e^{-it}ie^{it}dt=\int _{0}^{2\pi }idt=2\pi i}$