Комплексный анализ I

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Курс читал Пётр Анатольевич Бородин осенью 2018 года на мехмате МГУ им. Ломоносова, отделение механики.

Программа курса (и билеты)[править]

  1. Свойства дробно-линейных отображений. Дробно-линейные автоморфизмы круга.
  2. Основные элементарные функции, их максимальные области однолистности. Обратные к ним функции. Примеры областей, в которых выделяются непрерывные ветви обратных функций.
  3. -дифференцируемость и -дифференцируемость комплекснозначной функции, связь между ними. Условия Коши-Римана. Голоморфные в области функции. Голоморфность в бесконечности. Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Конформность в точке.
  4. Определение интеграла по кривой в комплексной плоскости, независимость от параметризации кривой. Свойства интеграла. Три примера: интегралы от 1 и от z по произвольной спрямляемой кривой, интеграл от по окружности с центром 0.
  5. Интегральная теорема Коши.
  6. Существование первообразной у голоморфной функции в односвязной области. Интегральная теорема Коши для составного контура. Интегральная формула Коши.
  7. Бесконечная дифференцируемость голоморфных функций. Разложение голоморфной в круге функции в ряд Тейлора.
  8. Свойства степенных рядов, их голоморфность в круге сходимости. Неравенства Коши для коэффициентов.
  9. Теорема Мореры. Условия на функцию, эквивалентные её голоморфности в области.
  10. Теорема Лиувилля. Теорема о среднем для голоморфных функций. Теорема единственности. Принцип максимума модуля и следствия из него.
  11. Пространство голоморфных в области функций, сходимость в нем. Теорема Вейерштрасса о сходимости. Метризуемость сходимости внутри области.
  12. Теоремы Рунге и следствия из них.
  13. Ряды Лорана, их область сходимости. Разложение функции, голоморфной в кольце, в ряд Лорана. Формулы для коэффициентов.
  14. Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация в терминах рядов Лорана. Теорема Римана об устранимой особой точке. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка.
  15. Вычеты. Теорема Коши о вычетах. Способы вычисления вычетов. Вычет в бесконечности.
  16. Лемма Жордана. Преобразование Фурье рациональных функций.
  17. Функции, мероморфные в . Достаточное условие разложимости мероморфной в функции в ряд из главных частей рядов Лорана в полюсах. Пример: .
  18. Разложение мероморфной функции в сумму целой функции и ряда из разностей главных частей рядов Лорана и многочленов. Теорема Миттаг-Леффлера.
  19. Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение. Пример: .