Участник:Isbur/Комплексный анализ I/Теоретический минимум

Теорема. (первая теорема Рунгe) ${\textstyle \sqsupset K\in \mathbb {C} \quad f\in O(K)}$ (то есть ${\textstyle f\in O(u)}$, ${\textstyle u}$ открытое множество, содержащее ${\textstyle K}$). Тогда ${\textstyle \forall \varepsilon >0\exists R(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}}}$ – рациональная функция такая, что ${\textstyle \|f-R\|_{C(K)}<\varepsilon }$, и полюсы ${\textstyle R}$ (то есть нули ${\textstyle Q}$) можно соединить с ${\textstyle \mathbb {C\backslash } u}$ непрерывными кривыми, не пересекающими ${\textstyle K}$.

Лемма. (о выводе полюсов) ${\textstyle \sqsupset K\subset \mathbb {C} }$, ${\textstyle \gamma }$ кривая с началом ${\textstyle a}$ и концом ${\textstyle b}$, ${\textstyle \gamma \cap K=\emptyset }$.

${\textstyle \Rightarrow }$ функция ${\textstyle {\frac {1}{z-a}}}$ с любой точностью равномерно на ${\textstyle K}$ приближается суммами ${\textstyle \sum _{k=1}^{N}{\frac {C_{k}}{(z-b)^{k}}}}$.

Следствие 1. В первой теореме Рунге полюсы приближающих рациональных функций можно брать и вне ${\textstyle u}$.

Следствие 2. ${\textstyle \forall D\subset \mathbb {C} ,D}$ область, ${\textstyle \forall f\in O(D)\quad \exists \left\{R_{n}\right\}_{n=1}^{\infty },\quad R_{n}\in O(D),\quad R_{n}\rightrightarrows f}$ внутри ${\textstyle D}$ (${\textstyle R_{n}}$ рациональные функции).

Следствие 3. (философское): ${\textstyle O(D)}$ сепарабельное полное метрическое пространство.

Определение. Сепарабельное множество множество, в котором есть счётное всюду плотное подмножество.

Теорема. (вторая теорема Рунге) ${\textstyle K\subset \mathbb {C} ,\;\mathbb {C} \backslash K}$ связно, (то есть в ${\textstyle K}$ нет дырок), ${\textstyle f\in O(K)}$, то есть ${\textstyle f\in O(u),u}$ - открытое множество, содержащее $K$.

${\textstyle \Rightarrow \forall \varepsilon >0\quad \exists P(z)}$ - многочлен такой, что ${\textstyle \|f-P\|_{C(K)}<\varepsilon }$.

Следствие. ${\textstyle D}$ односвязная область, ${\textstyle f\in O(D)}$, тогда ${\textstyle \exists \left\{P_{n}(z)\right\}_{n=1}^{\infty }}$ последовательность многочленов, что ${\textstyle P_{n}(z)\Rightarrow f}$ внутри ${\textstyle D}$.

Теорема. ${\textstyle f\in O(r<|z-a|<R)\Rightarrow f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

${\textstyle C_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(z)}{(z-a)^{n+1}}}dz}$

${\textstyle \rho }$ любое число такое, что ${\textstyle r<\rho <R,\quad n=0,\pm 1,\ldots }$

Неравенства Коши для коэффициентов Лорана. ${\textstyle \left|C_{n}\right|\leq {\frac {\max _{|z-a|=\rho }|f(z)|}{\rho ^{2}}},r<\rho <R}$

Теорема. (свойства рядов Лорана)

1) ряд Лорана сходится в кольце ${\textstyle r<|z-a|<R}$, где ${\textstyle r=\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{-n}\right|}}}$, ${\textstyle R={\frac {1}{\lim _{n\rightarrow +\infty }{\sqrt[{n}]{\left|C_{n}\right|}}}}}$. Вне этого кольца ряд расходится. Если ${\textstyle r>R}$ то ряд не сходится вообще нигде

2) сумма ряда Лорана в кольце из пункта 1 голоморфная функция

3) ${\textstyle C_{n}={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }{\frac {f(\xi )}{(\xi -a)^{n+1}}}d\xi ,n\in \mathbb {Z} }$, то есть наш ряд это ряд Лорана для ${\textstyle f(z)}$.

Следствие. (из пункта 3) Если ${\textstyle f(z)\in O(r<|z-a|<R)}$, то коэффициенты её ряда Лорана определяются единственным образом.

Теорема. (Классификация изолированных особых точек)

Изолированная особая точка называется:

1) Устранимой, если ${\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)\in \mathbb {C} }$, либо если ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

2) Полюсом ${\textstyle N}$-го порядка, если ${\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)\in \infty }$, либо если ${\textstyle f(z)=\sum _{n=-N}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

3) Существенно особой, если ${\textstyle \not \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)}$, либо если ${\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

Теорема. (Риман; об особой устранимой точке) ${\textstyle \sqsupset f\in O(0<|z-a|<\varepsilon ),a}$ – устранимая для ${\textstyle f\Leftrightarrow \exists {\dot {u}}(a):f(z)}$ ограничена в ${\textstyle {\dot {u}}(a)}$.

Теорема. (Сохоцкий) ${\textstyle f(z)\in O(0<|z-a|<\varepsilon ),a}$ существенно особая для ${\textstyle f(z)\Leftrightarrow \forall A\in {\overline {\mathbb {C} }},\quad \exists z_{n}\rightarrow a:f\left(z_{n}\right)\rightarrow A}$

Определение. ${\textstyle \infty }$ - изолированная особая точка однозначного характера для ${\textstyle f}$, если ${\textstyle f\in O(|z|>R)}$ для некоторого ${\textstyle R>0}$.

Определение. ${\textstyle \infty }$ называется устранимой (полюсом,существенно особой) для ${\textstyle f(z)}$,если 0 является устранимой (полюсом, существенно особой) для ${\textstyle f\left({\frac {1}{z}}\right)\in O\left(0<|z|<{\frac {1}{R}}\right)}$. Так как ${\textstyle f(z)\in O(|z|>R)}$, то в этой области ${\textstyle f(z)}$ раскладывается в ряд Лорана ${\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}z^{n}}$.

Определение. ${\textstyle \sqsupset f\in O(0<|z-a|<\varepsilon )}$. Вычетом ${\textstyle f}$ в точке ${\textstyle a}$ называется число ${\textstyle \operatorname {res} _{a}f:={\frac {1}{2\pi i}}\int _{|z-a|=\rho }f(z)dz}$.

Теорема. (Коши о вычетах): ${\textstyle \sqsupset }$${\textstyle \Gamma }$ составной спрямляемый жорданов контур в ${\textstyle \mathbb {C} }$ и ${\textstyle f\in O\left(\operatorname {In} t\Gamma \backslash \left(a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\right)\cap C\left(\Gamma \cup \operatorname {In} t\Gamma \backslash \left\{_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\right)}$. Тогда ${\textstyle \int _{\Gamma }f(z)dz=2\pi i\sum _{k=1}^{n}\operatorname {res} _{a_{k}}f}$.

Теорема. ${\textstyle f\in O(0<|z-a|<\varepsilon ),f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}\Rightarrow {\underset {a}{\operatorname {res} f}}=C_{-1}}$

Способы подсчёта вычетов:

1) ${\textstyle a}$ устранимая для ${\textstyle f}$ ${\textstyle \Rightarrow f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}\Rightarrow C_{-1}={\underset {a}{\operatorname {res} }}f=0}$

2) ${\textstyle a}$ полюс первого порядка для ${\textstyle f\Rightarrow f(z)={\frac {C_{-1}}{z-a}}+C_{0}+C_{1}(z-a)+\cdots \Rightarrow }$

${\textstyle \Rightarrow \operatorname {res} f=C_{-1}=\lim _{z\rightarrow a}f(z)(z-a)}$

2a) ${\textstyle f(z)={\frac {\varphi (z)}{\psi (z)}}:\varphi (z)\in O(u(a)),\varphi (a)\neq 0,\psi (z)\in O(u(a)),a}$ нуль первого порядка для ${\textstyle \psi (z)}$, то есть ${\textstyle \psi ^{\prime }(a)\neq 0}$. Тогда ${\textstyle {\underset {a}{\operatorname {res} f}}=C_{-1}=\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\varphi (z)(z-a)}{\psi (z)-\psi (a)}}={\frac {\varphi (a)}{\psi ^{\prime }(a)}}}$

3) ${\textstyle a}$ полюс порядка ${\textstyle N}$ для ${\textstyle f\Rightarrow f(z)={\frac {C_{-N}}{(z-a)^{N}}}+{\frac {C_{-N+1}}{(z-a)^{N-1}}}+\cdots +{\frac {C_{-1}}{z-a}}+C_{0}+\cdots \Rightarrow }$

${\textstyle \Rightarrow \operatorname {res} f=C_{-1}=\lim _{z\rightarrow a}{\frac {\left[f(z)(z-a)^{N}\right]^{(N-1)}}{(N-1)!}}}$

4) ${\textstyle a}$ существенно особая для ${\textstyle f}$. В этом случае общего способа нет, нужно пытаться разложить ${\textstyle f}$ в ряд Лорана и взять ${\textstyle C_{-1}}$.

Вычет в ${\textstyle \infty }$. ${\textstyle f\in O(|z|>R)}$, ${\textstyle {\underset {\infty }{\operatorname {res} }}f(z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{(|z|=\rho )^{-}}f(z)dz}$, ${\textstyle \rho >R}$

Теорема. ${\textstyle f\in O\left(\mathbb {C} \backslash \left\{a_{1},\ldots ,a_{n}\right\}\right)\Rightarrow \sum _{k=1}^{n}\operatorname {res} f=-\operatorname {res} f}$

Лемма. (Жордан)

${\textstyle \sqsupset }$ ${\textstyle f\in C(\{\operatorname {Im} z>0,|z|>r\});\max _{z\in \gamma _{R}}|f(z)|\rightarrow 0}$ при ${\textstyle R\rightarrow \infty }$ (${\textstyle \gamma _{R}}$ это верхние полуокружности окружностей ${\textstyle |z|=R>r}$).

Тогда ${\textstyle \forall a>0\int _{\gamma _{R}}f(z)e^{iaz}dz\rightarrow 0}$ при ${\textstyle R\rightarrow \infty }$.

Преобразование Фурье рациональных функций:

${\textstyle R(z)={\frac {P(z)}{Q(z)}},\quad \operatorname {deg} Q>\operatorname {deg} P,\quad R(z)}$ имеет на ${\textstyle \mathbb {R} }$ только полюсы первого порядка.

${\textstyle \lambda \in \mathbb {R} ;{\hat {R}}(\lambda )={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{\mathbb {R} }R(x)e^{-i\lambda x}dx}$ (интеграл в смысле главного значения).

Формула для преобразования Фурье:

${\textstyle {\hat {R}}(\lambda )=\left\{{\begin{array}{c}{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(2\pi i\sum _{Ima_{k}>0}\operatorname {res} \left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)+\sum _{k=1}^{n}\pi i\operatorname {res} \left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)\right)},\quad \lambda <0\\{{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\left(-2\pi i\sum _{\operatorname {Im} a_{k}<0}\operatorname {res} \left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)-\sum _{k=1}^{n}\pi i\operatorname {res} _{b_{k}}\left(R(x)e^{-i\lambda x}\right)\right)},\quad \lambda >0\end{array}}\right.}$

Определение. ${\textstyle f\in M(\mathbb {C} )}$(мероморфна в ${\textstyle \mathbb {C} }$), если ${\textstyle f\in O\left(\mathbb {C} \backslash \left\{a_{1},\ldots ,a_{n},\ldots \right\}\right)}$, где ${\textstyle a_{1},\dots ,a_{n},\dots }$ полюсы, и их не более чем счётное число.

Утверждение. ${\textstyle f\in M({\overline {\mathbb {C} }})\Rightarrow f}$ рациональная функция, и ${\textstyle f(z)=\sum _{m=1}^{n}G_{m}(z)+const}$

Теорема. (достаточное условие разложимости мероморфной в ${\textstyle \mathbb {C} }$ функции в ряд из главных частей рядов Лорана в полюсах) ${\textstyle \sqsupset f\in M(\mathbb {C} ),\quad \gamma _{n}}$ простые спрямляемые жордановы контуры:

а) ${\textstyle \forall n}$ на ${\textstyle \gamma _{k}}$ нет полюсов;

б) ${\textstyle \operatorname {Int} \gamma _{1}\subset \operatorname {Int} \gamma _{2}\subset \cdots ,\bigcup \operatorname {Int} \gamma _{n}=\mathbb {C} }$

в) ${\textstyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{\gamma _{n}}{\frac {f(\xi )}{\xi -z}}d\xi \rightrightarrows 0}$ на ${\textstyle \mathbb {C} }$

Тогда ${\textstyle f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }G_{n}(z)\quad \forall z\in \left\{a_{1},a_{2},\ldots \right\}}$ и ряд равномерно сходится на ${\textstyle \mathbb {C} \backslash \left\{a_{1},a_{2},\dots \right\}}$.

Пример. ${\textstyle {\frac {\pi \operatorname {ctg} \pi z}{z}}}$

Применим следствие из леммы:

${\textstyle n=0:{\frac {\pi \operatorname {ctg} \pi Z}{z}}={\frac {1}{z^{2}}}+{\frac {C_{-1}}{z}}+C_{0}+\cdots ,\quad C_{-1}=0}$, так как ${\textstyle {\frac {\pi \operatorname {ctg} \pi z}{z}}}$ чётная функция; значит, ${\textstyle G_{0}(z)={\frac {1}{z^{2}}}}$

${\textstyle n\neq 0:\operatorname {res} _{n}{\frac {\pi \cos \pi z/z}{\sin \pi z}}={\frac {\pi \cos \pi n/n}{\pi \cos \pi n}}={\frac {1}{n}}\Rightarrow G_{n}(z)={\frac {1/n}{z-n}}}$

Теорема. (о разложении мероморфной функции в сумму целой функции и ряда из разностей главных частей рядов Лорана и многочленов) ${\textstyle \forall f(z)\in M(\mathbb {C} )}$ с полюсами в ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ и главными частями рядов Лорана ${\textstyle \left\{G_{n}(z)\right\}_{n=1}^{\infty }\quad \exists }$ такая ${\textstyle g\in O(\mathbb {C} )}$ и такие многочлены ${\textstyle P_{n}(z):f(z)=g(z)+\sum _{n=1}^{\infty }\left(G_{n}(z)-P_{n}(z)\right)}$, и хвост этого ряда сходится равномерно внутри ${\textstyle \mathbb {C} }$.

Теорема. (Миттаг-Леффлер) ${\textstyle \forall \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }:a_{n}\rightarrow \infty \;\wedge \;\forall G_{n}(z)=\sum _{k=1}^{N_{n}}{\frac {C_{k}^{(n)}}{\left(z-a_{n}\right)^{k}}}}$

${\textstyle \exists f(z)\in M(\mathbb {C} ):f(z)}$ имеет полюсы именно в ${\textstyle \left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ и в них её главные части рядов Лорана равны именно ${\textstyle G_{n}(z)}$.

Теорема. (Вейерштрасс, о разложении целой функции в произведение) ${\textstyle \sqsupset f\in O(\mathbb {C} ),\{z:f(z)=0\}=\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ (каждый ноль берётся столько раз, какого он порядка). ${\textstyle 0<\left|a_{1}\right|\leq \left|a_{2}\right|\leq \left|a_{3}\right|\leq \cdots ,\lambda }$ порядок нуля в 0. Тогда ${\textstyle \forall k_{n}:\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right|^{k_{n}+1}}$сходится равномерно во всяком круге ${\textstyle \exists g\in O(\mathbb {C} ):f(z)=e^{g(z)}z^{\lambda }\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)e^{{\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {z^{2}}{2a_{n}^{2}}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{k_{n}a_{n}^{k_{n}}}}}\right]}$.

Пример. ${\textstyle f(z)=\sin \pi z}$${\textstyle =\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$