Участник:Isbur/Комплексный анализ I/Теоретический минимум

Теорема. (первая теорема Рунгe) $⊐K\in ℂf\in O(K)$ (то есть $f\in O(u)$, $u$ открытое множество, содержащее $K$). Тогда $\mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)}$ – рациональная функция такая, что $\Vert f-R{\Vert }_{C(K)}<\epsilon$, и полюсы $R$ (то есть нули $Q$) можно соединить с $ℂ\mathrm{\setminus }u$ непрерывными кривыми, не пересекающими $K$.

Лемма. (о выводе полюсов) $⊐K\subset ℂ$, $\gamma$ кривая с началом $a$ и концом $b$, $\gamma \cap K=\mathrm{\varnothing }$.

$\Rightarrow$ функция $\frac{1}{z-a}$ с любой точностью равномерно на $K$ приближается суммами ${\sum }_{k=1}^N\frac{C_k}{(z-b{)}^k}$.

Следствие 1. В первой теореме Рунге полюсы приближающих рациональных функций можно брать и вне $u$.

Следствие 2. $\mathrm{\forall }D\subset ℂ,D$ область, $\mathrm{\forall }f\in O(D)\mathrm{\exists }{\left\{R_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }},R_n\in O(D),R_n\rightrightarrows f$ внутри $D$ ($R_n$ рациональные функции).

Следствие 3. (философское): $O(D)$ сепарабельное полное метрическое пространство.

Определение. Сепарабельное множество множество, в котором есть счётное всюду плотное подмножество.

Теорема. (вторая теорема Рунге) $K\subset ℂ,ℂ\mathrm{\setminus }K$ связно, (то есть в $K$ нет дырок), $f\in O(K)$, то есть $f\in O(u),u$ - открытое множество, содержащее $K$.

$\Rightarrow \mathrm{\forall }\epsilon >0\mathrm{\exists }P(z)$ - многочлен такой, что $\Vert f-P{\Vert }_{C(K)}<\epsilon$.

Следствие. $D$ односвязная область, $f\in O(D)$, тогда $\mathrm{\exists }{\{P_n(z)\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ последовательность многочленов, что $P_n(z)\Rightarrow f$ внутри $D$.

Теорема. $f\in O(r<|z-a|<R)\Rightarrow f(z)={\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

$C_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z-a|=\rho }\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz$

$\rho$ любое число такое, что $r<\rho <R,n=0,\pm 1,\dots$

Неравенства Коши для коэффициентов Лорана. $\left|C_n\right|\le \frac{\underset{|z-a|=\rho }{max}|f(z)|}{{\rho }^2},r<\rho <R$

Теорема. (свойства рядов Лорана)

1) ряд Лорана сходится в кольце $r<|z-a|<R$, где $r=\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\left|C_{-n}\right|}$, $R=\frac{1}{\underset{n\to +\mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\left|C_n\right|}}$. Вне этого кольца ряд расходится. Если $r>R$ то ряд не сходится вообще нигде

2) сумма ряда Лорана в кольце из пункта 1 голоморфная функция

3) $C_n=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z-a|=\rho }\frac{f(\xi )}{(\xi -a{)}^{n+1}}d\xi ,n\in \mathbb{Z}$, то есть наш ряд это ряд Лорана для $f(z)$.

Следствие. (из пункта 3) Если $f(z)\in O(r<|z-a|<R)$, то коэффициенты её ряда Лорана определяются единственным образом.

Теорема. (Классификация изолированных особых точек)

Изолированная особая точка называется:

1) Устранимой, если $\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{lim}f(z)\in ℂ$, либо если $f(z)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

2) Полюсом $N$-го порядка, если $\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{lim}f(z)\in \mathrm{\infty }$, либо если $f(z)={\sum }_{n=-N}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

3) Существенно особой, если $\mathrm{\exists }\underset{z\to a}{lim}f(z)$, либо если $f(z)={\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

Теорема. (Риман; об особой устранимой точке) $⊐f\in O(0<|z-a|<\epsilon ),a$ – устранимая для $f\iff \mathrm{\exists }\dot{u}(a):f(z)$ ограничена в $\dot{u}(a)$.

Теорема. (Сохоцкий) $f(z)\in O(0<|z-a|<\epsilon ),a$ существенно особая для $f(z)\iff \mathrm{\forall }A\in \overline{ℂ},\mathrm{\exists }{z}_n\to a:f\left(z_n\right)\to A$

Определение. $\mathrm{\infty }$ - изолированная особая точка однозначного характера для $f$, если $f\in O(|z|>R)$ для некоторого $R>0$.

Определение. $\mathrm{\infty }$ называется устранимой (полюсом,существенно особой) для $f(z)$,если 0 является устранимой (полюсом, существенно особой) для $f\left(\frac{1}{z}\right)\in O(0<|z|<\frac{1}{R})$. Так как $f(z)\in O(|z|>R)$, то в этой области $f(z)$ раскладывается в ряд Лорана $f(z)={\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n{z}^n$.

Определение. $⊐f\in O(0<|z-a|<\epsilon )$. Вычетом $f$ в точке $a$ называется число ${\mathrm{res}}_{a}f:=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z-a|=\rho }f(z)dz$.

Теорема. (Коши о вычетах): $⊐$$\Gamma$ составной спрямляемый жорданов контур в $ℂ$ и $f\in O(\mathrm{In}t\Gamma \mathrm{\setminus }(a_1,\dots ,a_n\})\cap C(\Gamma \cup \mathrm{In}t\Gamma \mathrm{\setminus }\{{}_1,\dots ,a_n\})$. Тогда ${\int }_{\Gamma }f(z)dz=2\pi i{\sum }_{k=1}^n{\mathrm{res}}_{a_k}f$.

Теорема. $f\in O(0<|z-a|<\epsilon ),f(z)={\sum }_{n=-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n\Rightarrow \underset{a}{\mathrm{res}f}=C_{-1}$

Способы подсчёта вычетов:

1) $a$ устранимая для $f$ $\Rightarrow f(z)={\sum }_{n=0}^{+\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n\Rightarrow C_{-1}=\underset{a}{\mathrm{res}}f=0$

2) $a$ полюс первого порядка для $f\Rightarrow f(z)=\frac{C_{-1}}{z-a}+C_0+C_1(z-a)+\cdots \Rightarrow$

$\Rightarrow \mathrm{res}f=C_{-1}=\underset{z\to a}{lim}f(z)(z-a)$

2a) $f(z)=\frac{\phi (z)}{\psi (z)}:\phi (z)\in O(u(a)),\phi (a)\ne 0,\psi (z)\in O(u(a)),a$ нуль первого порядка для $\psi (z)$, то есть ${\psi }^{\prime }(a)\ne 0$. Тогда $\underset{a}{\mathrm{res}f}=C_{-1}=\underset{z\to a}{lim}\frac{\phi (z)(z-a)}{\psi (z)-\psi (a)}=\frac{\phi (a)}{{\psi }^{\prime }(a)}$

3) $a$ полюс порядка $N$ для $f\Rightarrow f(z)=\frac{C_{-N}}{(z-a{)}^N}+\frac{C_{-N+1}}{(z-a{)}^{N-1}}+\cdots +\frac{C_{-1}}{z-a}+C_0+\cdots \Rightarrow$

$\Rightarrow \mathrm{res}f=C_{-1}=\underset{z\to a}{lim}\frac{{[f(z)(z-a{)}^N]}^{(N-1)}}{(N-1)!}$

4) $a$ существенно особая для $f$. В этом случае общего способа нет, нужно пытаться разложить $f$ в ряд Лорана и взять $C_{-1}$.

Вычет в $\mathrm{\infty }$. $f\in O(|z|>R)$, $\underset{\mathrm{\infty }}{\mathrm{res}}f(z)=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{(|z|=\rho {)}^{-}}f(z)dz$, $\rho >R$

Теорема. $f\in O\left(ℂ\mathrm{\setminus }\{a_1,\dots ,a_n\}\right)\Rightarrow {\sum }_{k=1}^n\mathrm{res}f=-\mathrm{res}f$

Лемма. (Жордан)

$⊐$ $f\in C(\{\mathrm{Im}z>0,|z|>r\});{max}_{z\in {\gamma }_R}|f(z)|\to 0$ при $R\to \mathrm{\infty }$ (${\gamma }_R$ это верхние полуокружности окружностей $|z|=R>r$).

Тогда $\mathrm{\forall }a>0{\int }_{{\gamma }_R}f(z)e^{iaz}dz\to 0$ при $R\to \mathrm{\infty }$.

Преобразование Фурье рациональных функций:

$R(z)=\frac{P(z)}{Q(z)},\mathrm{deg}Q>\mathrm{deg}P,R(z)$ имеет на $ℝ$ только полюсы первого порядка.

$\lambda \in ℝ;\hat{R}(\lambda )=\frac{1}{\sqrt{2\pi }}{\int }_{ℝ}R(x)e^{-i\lambda x}dx$ (интеграл в смысле главного значения).

Формула для преобразования Фурье:

$\hat{R}(\lambda )=\{\begin{array}{c}\frac{1}{\sqrt{2\pi }}(2\pi i\sum _{Im{a}_k>0}\mathrm{res}(R(x)e^{-i\lambda x})+\sum _{k=1}^n\pi i\mathrm{res}(R(x)e^{-i\lambda x})),\lambda <0\\ \frac{1}{\sqrt{2\pi }}(-2\pi i\sum _{\mathrm{Im}{a}_k<0}\mathrm{res}(R(x)e^{-i\lambda x})-\sum _{k=1}^n\pi i{\mathrm{res}}_{b_k}(R(x)e^{-i\lambda x})),\lambda >0\end{array}$

Определение. $f\in M(ℂ)$(мероморфна в $ℂ$), если $f\in O\left(ℂ\mathrm{\setminus }\{a_1,\dots ,a_n,\dots \}\right)$, где $a_1,\dots ,a_n,\dots$ полюсы, и их не более чем счётное число.

Утверждение. $f\in M(\overline{ℂ})\Rightarrow f$ рациональная функция, и $f(z)={\sum }_{m=1}^n{G}_m(z)+const$

Теорема. (достаточное условие разложимости мероморфной в $ℂ$ функции в ряд из главных частей рядов Лорана в полюсах) $⊐f\in M(ℂ),{\gamma }_n$ простые спрямляемые жордановы контуры:

а) $\mathrm{\forall }n$ на ${\gamma }_k$ нет полюсов;

б) $\mathrm{Int}{\gamma }_1\subset \mathrm{Int}{\gamma }_2\subset \cdots ,\bigcup \mathrm{Int}{\gamma }_n=ℂ$

в) $\frac{1}{2\pi i}{\int }_{{\gamma }_n}\frac{f(\xi )}{\xi -z}d\xi \rightrightarrows 0$ на $ℂ$

Тогда $f(z)={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{G}_n(z)\mathrm{\forall }z\in \{a_1,a_2,\dots \}$ и ряд равномерно сходится на $ℂ\mathrm{\setminus }\{a_1,a_2,\dots \}$.

Пример. $\frac{\pi \mathrm{ctg}\pi z}{z}$

Применим следствие из леммы:

$n=0:\frac{\pi \mathrm{ctg}\pi Z}{z}=\frac{1}{z^2}+\frac{C_{-1}}{z}+C_0+\cdots ,C_{-1}=0$, так как $\frac{\pi \mathrm{ctg}\pi z}{z}$ чётная функция; значит, $G_0(z)=\frac{1}{z^2}$

$n\ne 0:{\mathrm{res}}_n\frac{\pi \cos \pi z/z}{\sin \pi z}=\frac{\pi \cos \pi n/n}{\pi \cos \pi n}=\frac{1}{n}\Rightarrow G_n(z)=\frac{1/n}{z-n}$

Теорема. (о разложении мероморфной функции в сумму целой функции и ряда из разностей главных частей рядов Лорана и многочленов) $\mathrm{\forall }f(z)\in M(ℂ)$ с полюсами в ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ и главными частями рядов Лорана ${\{G_n(z)\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\mathrm{\exists }$ такая $g\in O(ℂ)$ и такие многочлены $P_n(z):f(z)=g(z)+{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(G_n(z)-P_n(z))$, и хвост этого ряда сходится равномерно внутри $ℂ$.

Теорема. (Миттаг-Леффлер) $\mathrm{\forall }{\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}:a_n\to \mathrm{\infty }\wedge \mathrm{\forall }{G}_n(z)={\sum }_{k=1}^{N_n}\frac{C_k^{(n)}}{{(z-a_n)}^k}$

$\mathrm{\exists }f(z)\in M(ℂ):f(z)$ имеет полюсы именно в ${\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ и в них её главные части рядов Лорана равны именно $G_n(z)$.

Теорема. (Вейерштрасс, о разложении целой функции в произведение) $⊐f\in O(ℂ),\{z:f(z)=0\}={\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ (каждый ноль берётся столько раз, какого он порядка). $0<\left|a_1\right|\le \left|a_2\right|\le \left|a_3\right|\le \cdots ,\lambda$ порядок нуля в 0. Тогда $\mathrm{\forall }{k}_n:{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|\frac{z}{a_n}\right|}^{k_n+1}$сходится равномерно во всяком круге $\mathrm{\exists }g\in O(ℂ):f(z)=e^{g(z)}{z}^{\lambda }{\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[(1-\frac{z}{a_n})e^{\frac{z}{a_n}+\frac{z^2}{2a_n^2}+\cdots +\frac{z^n}{k_n{a}_n^{k_n}}}\right]$.

Пример. $f(z)=\sin \pi z$$=\pi z{\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$