Вариационный принцип Гамильтона в фазовом пространстве

Зафиксируем точки ${\textstyle \mathbf {x} _{0}=\left(\mathbf {q} _{0},\mathbf {p} _{0}\right)}$ и ${\textstyle \mathbf {x} _{1}=\left(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1}\right)}$ фазового пространства ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ и моменты времени ${\textstyle t_{0}<t_{1}}$ . Пусть ${\textstyle \Omega }$ — множество гладких кривых

${\textstyle \gamma :\left[t_{0},t_{1}\right]\rightarrow {\mathcal {M}},\quad \gamma (t)=(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))}$

соединяющих точки ${\textstyle x_{0},x_{1}}$ : ${\textstyle \gamma \left(t_{0}\right)=\mathbf {x} _{0},\mathbf {\gamma } \left(t_{1}\right)=\mathbf {x} _{1}}$ . Определим функционал действия ${\textstyle A:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ по формуле

${\textstyle A(\gamma )=\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {p} (t)\cdot {\dot {\mathbf {q} }}(t)-H(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t),t))dt}$

Вариация кривой ${\textstyle \gamma }$ с закрепленными концами — это гладкое семейство кривых ${\textstyle \gamma _{\alpha }\in \Omega }$ , зависящее от параметра ${\textstyle \alpha \in \mathbb {R} }$ , и такое, что ${\textstyle \gamma _{0}=\gamma }$ . Таким образом, ${\textstyle \gamma _{\alpha }(t)=(\mathbf {q} (t,\alpha ),\mathbf {p} (t,\alpha ))}$ , где ${\textstyle \mathbf {q} (t,{\boldsymbol {\alpha }}),\mathbf {p} (t,{\boldsymbol {\alpha }})}$ — гладкие функции и ${\textstyle \mathbf {q} \left(t_{0},\alpha \right)=\mathbf {q} _{0},\mathbf {q} \left(t_{1},\alpha \right)=\mathbf {q} _{1}}$ , ${\textstyle \mathbf {p} \left(t_{0},\mathbf {\alpha } \right)=\mathbf {p} _{0},\mathbf {p} \left(t_{1},{\boldsymbol {\alpha }}\right)=\mathbf {p} _{1},\mathbf {q} (t;0)=\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t,0)=\mathbf {p} (t)}$ .

Кривая ${\textstyle \gamma }$ называется экстремалью функционала ${\textstyle A(\gamma )}$ , если ${\textstyle \left.{\frac {d}{d\alpha }}\right|_{\alpha =0}A\left(\gamma _{\alpha }\right)=0}$ для любой вариации ${\textstyle \gamma _{\alpha }}$ с закрепленными концами.

Теорема. (принцип Гамильтона в форме Пуанкаре) Кривая ${\textstyle \Upsilon :\left[t_{0},t_{1}\right]\rightarrow {\mathcal {M}}}$ является решением уравнений Гамильтона тогда и только тогда, когда она является экстремалью функционала действия ${\textstyle A:\Omega \rightarrow \mathbb {R} }$ .

Доказательство. Пусть ${\textstyle \gamma _{\alpha }(t)=(q(t,\alpha ),p(t,\alpha ))}$ — вариация кривой ${\textstyle \gamma }$ . Найдем (для удобства здесь пишем ${\textstyle p}$ в виде строки)

${\textstyle {\begin{array}{c}{{\frac {d}{d\alpha }}A\left(\gamma _{\alpha }\right)={\frac {d}{d\alpha }}\int _{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {p} (t,\alpha ){\dot {\mathbf {q} }}(t,\alpha )-H(\mathbf {q} (t,\alpha ),\mathbf {p} (t,\alpha ),t))dt=}\\{=\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left({\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial \alpha }}{\dot {\mathbf {q} }}+\mathbf {p} {\frac {\partial ^{2}\mathbf {q} }{\partial t\partial \alpha }}-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}{\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial \alpha }}-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}{\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial \alpha }}\right)dt}\end{array}}}$

Интегрируя по частям, получаем

${\textstyle {\begin{array}{c}{{\frac {d}{d\alpha }}A\left(\gamma _{\alpha }\right)=\mathbf {p} (t,\alpha )\left.{\frac {\partial \mathbf {q} (t,\mathbf {\alpha } )}{\partial \alpha }}\right|_{t_{0}}^{t_{1}}+}\\{+\int _{t_{0}}^{t_{1}}\left[{\frac {\partial \mathbf {p} }{\partial \alpha }}\left({\dot {\mathbf {q} }}-{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {p} }}\right)-\left({\dot {\mathbf {p} }}+{\frac {\partial H}{\partial \mathbf {q} }}\right){\frac {\partial \mathbf {q} }{\partial \alpha }}\right]dt}\end{array}}}$

где ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}={\frac {\partial \mathbf {q} (t,\alpha )}{\partial t}},{\dot {\mathbf {p} }}={\frac {\partial \mathbf {p} (t,{\boldsymbol {\alpha }})}{\partial t}}}$ . Если ${\textstyle (\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))}$ — решение уравнений Гамильтона и концы фиксированы: ${\textstyle \mathbf {q} \left(t_{0},\alpha \right)=\mathbf {q} _{0},\mathbf {q} \left(t_{1},\alpha \right)=\mathbf {q} _{1}}$ , то ${\textstyle \left.{\frac {d}{d\alpha }}\right|_{\alpha =0}A\left(\gamma _{\alpha }\right)=0}$ . Обратное утверждение доказывается как для обычного принципа Гамильтона.