Рассмртрим лагранжеву систему с конфигурационным пространством и функцией Лагранжа .
Обобщенный импульс:
Обобщенная энергия:
Предположим, что уравнение (1) можно разрешить относительно обобщенных скоростей . Тогда функцией Гамильтона называется обобщенная энергия, выраженная через переменные :
В математических терминах — преобразование Лежандра функции Лагранжа по скорости . Из общих свойств преобразования Лежандра вытекает следующая
Теорема. При замене переменных уравнения Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона
Таким образом, уравнений Лагранжа второго порядка переписаны в виде уравнений Гамильтона первого порядка.
Пространство переменных называют фазовым пространством, а переменные — каноническими переменными. Фазовое пространство будет обозначаться .
Система (2) имеет вид , где , а — гамильтоново векторное поле.
Функция Гамильтона натуральных механических систем
[править]
Рассмотрим натуральную механическую систему с степенями свободы и лагранжианом
где – обобщенные координаты; – обобщенные скорости; и — кинетическая и потенциальная энергия системы; — симметрическая, положительно определенная матрица.
Обобщенный импульс определяется по формуле
Функция Гамильтона получается подстановкой
в формулу полной энергии
Таким образом, функция Гамильтона имеет вид
Для натуральных систем матрица всегда невырождена, так что функция Гамильтона всегда определена.