Перейти к содержанию

Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Билеты/Вывод уравнений Гамильтона

Материал из Викиверситета

Рассмртрим лагранжеву систему с конфигурационным пространством и функцией Лагранжа .

Обобщенный импульс:

Обобщенная энергия:

Предположим, что уравнение (1) можно разрешить относительно обобщенных скоростей . Тогда функцией Гамильтона называется обобщенная энергия, выраженная через переменные :

В математических терминах — преобразование Лежандра функции Лагранжа по скорости . Из общих свойств преобразования Лежандра вытекает следующая

Теорема. При замене переменных уравнения Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона

Таким образом, уравнений Лагранжа второго порядка переписаны в виде уравнений Гамильтона первого порядка.

Пространство переменных называют фазовым пространством, а переменные — каноническими переменными. Фазовое пространство будет обозначаться .

Система (2) имеет вид , где , а — гамильтоново векторное поле.

Функция Гамильтона натуральных механических систем

[править]

Рассмотрим натуральную механическую систему с степенями свободы и лагранжианом

где – обобщенные координаты; – обобщенные скорости; и — кинетическая и потенциальная энергия системы; — симметрическая, положительно определенная матрица.

Обобщенный импульс определяется по формуле

Функция Гамильтона получается подстановкой

в формулу полной энергии

Таким образом, функция Гамильтона имеет вид

Для натуральных систем матрица всегда невырождена, так что функция Гамильтона всегда определена.