Диссипативные и гироскопические силы. Диссипативность сил Релея.

Пусть на систему кроме потенциальных действуют обобщенные силы ${\textstyle Q_{i}}$ . Тогда уравнения Лагранжа имеют вид

${\textstyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}=Q_{i}-{\frac {\partial V}{\partial q_{i}}}}$

Задача 9.12 (теорема об изменении энергии). Обозначим через ${\textstyle H=T+V}$ полную энергию системы. Докажите, что ${\textstyle {\frac {dH}{dt}}=\sum _{i}Q_{i}{\dot {q}}_{i}}$ .

Обобщенные силы ${\textstyle Q_{i}(q,{\dot {q}})}$ называются гироскопическими, если они имеют нулевую мощность: ${\textstyle \sum _{i}Q_{i}{\dot {q}}_{i}=0}$ , и диссипативными, если ${\textstyle \sum _{j}Q_{i}{\dot {q}}_{i}\leq 0}$ для всех ${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}\in \mathbb {R} ^{n}}$ . Ясно, что как гироскопические, так и диссипативные силы должны явно зависеть от скоростей.

Задача 9.13. Пусть матрица ${\textstyle \left(g_{ij}(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right)}$ кососимметрична. Покажите, что обобщенные силы ${\textstyle Q_{i}=\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}}$ гироскопические.

Пусть обобщенные силы диссипативны и линейны по скорости: ${\textstyle Q_{i}=\sum _{i}c_{ij}(q){\dot {q}}_{j}}$ . Имеем ${\textstyle c_{ij}=f_{ij}+g_{ij}}$ , где

${\textstyle f_{ij}=f_{ji}={\frac {1}{2}}\left(c_{ij}+c_{ji}\right),\quad g_{ij}=-g_{ji}={\frac {1}{2}}\left(c_{ij}-c_{ji}\right)}$

Тогда ${\textstyle Q_{i}=\Gamma _{i}-{\frac {\partial \Phi }{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$ , где обобщенные силы ${\textstyle \Gamma _{i}=\sum _{j}g_{ij}{\dot {q}}_{j}}$ являются гироскопическими, а квадратичная форма ${\textstyle \Phi ={\frac {1}{2}}\sum _{ij}f_{ij}{\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$ (функция Релея) неотрицательна. Если ${\textstyle \Phi }$ положительно определена, то говорят, что диссипация полная.

Теоремы Кельвина-Четаева о асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия при наложении диссипативных и гироскопических сил.

Теорема (теорема Кельвина—Четаева). Пусть ${\textstyle q^{0}}$ — точка строгого локального минимума потенциальной энергии ${\textstyle V}$ . Тогда равновесие останется устойчивым при добавлении диссипативных и гироскопических сил. Если диссипативные силы обладают полной диссипацией, то изолированное равновесие асимптотически устойчиво.

Доказательство. Рассмотрим функцию ${\textstyle H(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=T+V}$ . Поскольку ${\textstyle {\dot {H}}\leq 0}$ , то первое утверждение доказывается так же, как и теорема Лагранжа—Дирихле. Второе утверждение теоремы следует из теоремы Барабашина—Красовского 8.2, поскольку множество ${\textstyle {\dot {H}}=0}$ состоит (при условии, что диссипация полная) только из состояний равновесия, т. е. не содержит (при условии изолированности исходного равновесия) целых движений системы, отличных от равновесия ${\textstyle \mathbf {q} =\mathbf {q} ^{0},{\dot {\mathbf {q} }}=0}$ .

Теорема 9.7 (теорема Кельвина—Четаева). Если потенциальная энергия не имеет в положении равновесия локального минимума, положение равновесия изолировано, а диссипативные силы обладают полной диссипацией, то равновесие неустойчиво.

Доказательство. Рассмотрим функцию ${\textstyle H(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=T+V}$ . При условиях теоремы область ${\textstyle H<0}$ в фазовом пространстве непуста и равновесие ${\textstyle \mathbf {q} =\mathbf {q} ^{0},{\dot {\mathbf {q} }}=0}$ лежит на ее границе. Поскольку ${\textstyle {\dot {H}}\leq 0}$ , причем множество ${\textstyle {\dot {H}}=0}$ не содержит целых движений системы, отличных от равновесия ${\textstyle \mathbf {q} =\mathbf {q} ^{0},{\dot {\mathbf {q} }}=0}$ (см. доказательство теоремы 9.6), неустойчивость этого равновесия следует из теоремы Красовского 8.3.