Диссипативные и гироскопические силы. Диссипативность сил Релея.

Пусть на систему кроме потенциальных действуют обобщенные силы $Q_{i}$ . Тогда уравнения Лагранжа имеют вид

$\frac{d}{d t} \frac{\partial T}{\partial {\dot{q}}_{i}} - \frac{\partial T}{\partial q_{i}} = Q_{i} - \frac{\partial V}{\partial q_{i}}$

Задача 9.12 (теорема об изменении энергии). Обозначим через $H = T + V$ полную энергию системы. Докажите, что $\frac{d H}{d t} = \sum_{i} Q_{i} {\dot{q}}_{i}$ .

Обобщенные силы $Q_{i} (q, \dot{q})$ называются гироскопическими, если они имеют нулевую мощность: $\sum_{i} Q_{i} {\dot{q}}_{i} = 0$ , и диссипативными, если $\sum_{j} Q_{i} {\dot{q}}_{i} \leq 0$ для всех $\dot{𝐪} \in ℝ^{n}$ . Ясно, что как гироскопические, так и диссипативные силы должны явно зависеть от скоростей.

Задача 9.13. Пусть матрица $(g_{i j} (𝐪, \dot{𝐪}))$ кососимметрична. Покажите, что обобщенные силы $Q_{i} = \sum_{j} g_{i j} {\dot{q}}_{j}$ гироскопические.

Пусть обобщенные силы диссипативны и линейны по скорости: $Q_{i} = \sum_{i} c_{i j} (q) {\dot{q}}_{j}$ . Имеем $c_{i j} = f_{i j} + g_{i j}$ , где

$f_{i j} = f_{j i} = \frac{1}{2} (c_{i j} + c_{j i}), g_{i j} = - g_{j i} = \frac{1}{2} (c_{i j} - c_{j i})$

Тогда $Q_{i} = Γ_{i} - \frac{\partial Φ}{\partial {\dot{q}}_{i}}$ , где обобщенные силы $Γ_{i} = \sum_{j} g_{i j} {\dot{q}}_{j}$ являются гироскопическими, а квадратичная форма $Φ = \frac{1}{2} \sum_{i j} f_{i j} {\dot{q}}_{i} {\dot{q}}_{j}$ (функция Релея) неотрицательна. Если $Φ$ положительно определена, то говорят, что диссипация полная.

Теоремы Кельвина-Четаева о асимптотической устойчивости и неустойчивости положения равновесия при наложении диссипативных и гироскопических сил.

Теорема (теорема Кельвина—Четаева). Пусть $q^{0}$ — точка строгого локального минимума потенциальной энергии $V$ . Тогда равновесие останется устойчивым при добавлении диссипативных и гироскопических сил. Если диссипативные силы обладают полной диссипацией, то изолированное равновесие асимптотически устойчиво.

Доказательство. Рассмотрим функцию $H (𝐪, \dot{𝐪}) = T + V$ . Поскольку $\dot{H} \leq 0$ , то первое утверждение доказывается так же, как и теорема Лагранжа—Дирихле. Второе утверждение теоремы следует из теоремы Барабашина—Красовского 8.2, поскольку множество $\dot{H} = 0$ состоит (при условии, что диссипация полная) только из состояний равновесия, т. е. не содержит (при условии изолированности исходного равновесия) целых движений системы, отличных от равновесия $𝐪 = 𝐪^{0}, \dot{𝐪} = 0$ .

Теорема 9.7 (теорема Кельвина—Четаева). Если потенциальная энергия не имеет в положении равновесия локального минимума, положение равновесия изолировано, а диссипативные силы обладают полной диссипацией, то равновесие неустойчиво.

Доказательство. Рассмотрим функцию $H (𝐪, \dot{𝐪}) = T + V$ . При условиях теоремы область $H < 0$ в фазовом пространстве непуста и равновесие $𝐪 = 𝐪^{0}, \dot{𝐪} = 0$ лежит на ее границе. Поскольку $\dot{H} \leq 0$ , причем множество $\dot{H} = 0$ не содержит целых движений системы, отличных от равновесия $𝐪 = 𝐪^{0}, \dot{𝐪} = 0$ (см. доказательство теоремы 9.6), неустойчивость этого равновесия следует из теоремы Красовского 8.3.