Инвариантная мера. Мера с гладкой плотностью. Плотность при замене координат

Рассмотрим на гладком многообразии $M$ произвольную систему обыкновенных дифференциальных уравнений $\dot{x} = v (x, t)$ . В локальных координатах $𝐱 = (x_{1}, \dots, x_{m}), 𝐯 = (v_{1}, \dots, v_{m})$ . Считаем, что решения определены при всех $t \in ℝ$ . Неавтономный случай сводится к автономному путем добавления уравнения $\dot{t} = 1$ и перехода к расширенному фазовому пространству $M \times ℝ$ . Поэтому в дальнейшем считаем, что $v = v (x)$ не зависит от $t$ .

Пусть $g^{t} : M \to M$ — сдвиг вдоль решений системы

$\dot{x} = v (x, t) (1)$

сопоставляющий любой точке $x \in M$ — начальному условию в момент времени 0 — точку $g^{t} (x)$ , в которой окажется решение в момент времени $t$ . Отображения $g^{t}$ образуют однопараметрическую группу преобразований фазового пространства — фазовый поток $g^{t}$ .

Нас интересуют меры на фазовом пространстве обыкновенного дифференциального уравнения, инвариантные относительно соответствующего фазового потока. Строго говоря, для определения меры требуется сначала задать $σ$ -алгебру измеримых подмножеств. Но для нас эти тонкости существенного значения не имеют, так как рассматриваемые меры обладают гладкой плотностью и поэтому задаются дифференциальными формами. Открытые и замкнутые множества измеримы.

Пусть $μ$ — мера на $M$ с гладкой плотностью $ρ (x)$ , т.е. для любого измеримого множества $D \subset M$

$μ (D) = \int_{D} d μ$

В локальных координатах $d μ = ρ (𝐱) d 𝐱$ , где $d 𝐱 = d x_{1} \dots d x_{m}$ . Будем требовать, чтобы всюду на $M$ плотность $ρ$ меры была больше нуля. Фазовые пространства дифференциальных уравнений, описывающих движение механических систем, обычно ориентируемы. Тогда меру с гладкой плотностью можно отождествить с дифференциальной $m$ -формой $ρ (𝐱) d x_{1} \land \dots \land d x_{m}$ . Будем называть её формой меры $μ$ .

Рассмотрим область $D$ , в которой задана мера с гладкой плотностью, и две координатные системы: $x$ и $y$ . Обозначим соответствующие плотности $ρ_{x} (x)$ и $ρ_{y} (y)$ . Из теоремы о замене переменных в кратных интегралах следует, что при сохраняющей ориентацию замене координат $y = y (x)$ ) плотность умножается на якобиан замены:

$p_{x} (𝐱) = {| \frac{\partial 𝐲}{\partial 𝐱} |}_{P_{y}} (𝐲 (𝐱)), | \frac{\partial 𝐲}{\partial 𝐱} | = \det (\frac{\partial 𝐲}{\partial 𝐱})$

Таким образом, $ρ$ не является в точном смысле функцией на $M$ . В дальнейшем все рассуждения ведутся в фиксированной системе координат, так что будем называть $ρ$ функцией.

Определение. Мера $μ$ называется инвариантной относительно системы (1), если для любого $μ$ -измеримого множества $D \subset M$ и любого $t \in ℝ$

$μ (D) = μ (g^{t} (D))$

Теорема Лиувилля об инвариантной мере.

Теорема. (теорема Лиувилля). Гладкая функция $ρ (x)$ является плотностью инвариантной меры для уравнения $\dot{x} = v (x)$ тогда и только тогда, когда $div (ρ 𝐯) = 0$ , где

$div (ρ 𝐯) = \sum_{i} \frac{\partial (p v_{i})}{\partial x_{i}}$

Доказательство. Возьмем любую малую область $D$ в координатной окрестности с координатами $x$ . Тогда для любого близкого к нулю момента $t$ область $g^{t} (D)$ лежит в той же координатной окрестности. Условие ивариантности меры можно записать следующим образом:

$\int_{D} ρ (𝐱) d 𝐱 = \int_{g^{t} (D)} ρ (𝐱) d 𝐱$

Произведя в последнем интеграле замену переменных $x = g^{t} (y)$ , получаем

$\int_{D} ρ (𝐱) d 𝐱 = \int_{D} p (g^{t} (𝐲)) | \frac{\partial g^{t} (𝐲)}{\partial 𝐲} | d 𝐲$

Это выражение не зависит от $t$ . Поэтому

$\frac{d}{d t} \int_{D} ρ (g^{t} (𝐱)) | \frac{\partial g^{t} (𝐱)}{\partial 𝐱} | d 𝐱 = \int_{D} \frac{d}{d t} (ρ (g^{t} (𝐱)) | \frac{\partial g^{t} (𝐱)}{\partial 𝐱} |) d 𝐱 = 0$

Поскольку область $D$ произвольна, это условие эквивалентно обращению в нуль подынтегрального выражения в последнем соотношении. Так как система автономна, это достаточно проверить только для $t = 0$ . Окончательно получаем, что условие инвариантности меры эквивалентно следующему:

$\begin{matrix} \frac{d}{d t} {(ρ (g^{t} (𝐱)) | \frac{\partial g^{t} (𝐱)}{\partial 𝐱} |) |}_{t = 0} = \\ = \frac{d 𝐩 (g^{t} (𝐱))}{d t} {| \frac{\partial g^{t} (𝐱)}{\partial 𝐱} |}_{t = 0} + ρ (g^{t} (𝐱)) \frac{d}{d t} {| \frac{\partial g^{t} (𝐱)}{\partial 𝐱} |}_{t = 0} = 0 \end{matrix}$

Воспользуемся соотношениями

$\begin{matrix} g^{t} (x) = x + v (x) t + O (t^{2}) \\ \frac{\partial g^{t} (x)}{\partial x} = E + \frac{\partial v}{\partial x} t + O (t^{2}) \end{matrix}$

а также тождеством

$\frac{d}{d t} \det {(E + B t + O (t^{2})) |}_{t = 0} = tr B$

где Е — единичная матрица; В — любая квадратная матрица соответствующего размера; $t r B$ — след В. Получаем, что при $t = 0$ :

$\frac{d ρ}{d t} + ρ tr \frac{\partial 𝐯}{\partial 𝐱} = \sum_{i} \frac{\partial p}{\partial x_{i}} v_{i} + ρ \sum_{i} \frac{\partial v_{i}}{\partial x_{i}} = div (ρ 𝐯) = 0$

Существование инвариантной меры на многообразии уровней первых интегралов.

Напомним, что функция $𝑭 : M \to ℝ$ называется первым интегралом системы (1), если она постоянна на решениях: $F (x (t))$ не зависит от $t$ для любого решения $x (t)$ . Если $F$ гладкая, то она является первым интегралом тогда и только тогда, когда ее производная в силу системы равна нулю: $\dot{F} = v (F) = 0$ . Здесь $𝐯 (𝑭) = \sum \frac{\partial 𝑭}{\partial x_{j}} v_{j}$ — производная $F$ вдоль векторного поля $v$ .

Множество уровня функции $F$

$M_{c} = {𝐱 \in M : F (𝐱) = c = const}$

называется неособым, если $grad F$ не обращается в нуль на $M_{c}$ . Неособые уровни $M_{c}$ являются гладкими многообразиями.

Теорма. Пусть $μ$ — инвариантная мера и $F$ — первый интеграл. Тогда ограничение системы на неособый уровень интеграла $M_{c}$ имеет инвариантную меру $ν$ . Если мера $μ$ задается дифференциальной формой $\hat{μ}$ , то $ν$ задается формой $\hat{ν}$ , такой, что $d F \land \hat{𝐯} = \hat{μ}$

Доказательство. Уровень $M_{c}$ неособый (т.е. $grad {F |}_{M_{c}} \neq 0$ ). Следовательно, по теореме о неявной функции в окрестности любой точки $x \in M_{c}$ существуют локальные координаты $y = (y_{1}, \dots, y_{m})$ на $M$ такие, что $y_{1} = F - c$ . В частности, $M_{c}$ задается уравнением $y_{1} = 0$ .

Пусть $α (y)$ — плотность меры $μ$ в координатах $y$ . Запишем уравнения (1) в координатах $y$ :

${\dot{y}}_{1} = φ_{1} (𝐲) = 0, {\dot{y}}_{2} = φ_{2} (𝐲), \dots, {\dot{y}}_{m} = φ_{m} (𝐲)$

Согласно теореме Лиувилля,

$\sum_{j = 1}^{m} \frac{\partial (α φ_{j})}{\partial y_{j}} = \sum_{j = 2}^{m} \frac{\partial (α φ_{j})}{\partial y_{j}} = 0$

Уравнение для формы $\hat{ν}$ в координатах $y$ принимает вид

$d y_{1} \land \hat{v} = α (𝐲) d y_{1} \land \dots \land d y_{m}$

Общее решение уравнения этого уравнения есть сумма двух слагаемых:

$\hat{𝐯} = 𝜶 (𝐲) d y_{2} \land \dots \land d y_{m} + d y_{1} \land λ$

где $λ$ — произвольная $m - 2$ -форма. При этом второе слагаемое оказывается равным нулю при ограничении на $M_{c}$ . Поэтому

${\hat{𝐯} |}_{M_{c}} = α {(𝐲) |}_{y_{1} = 0} d y_{2} \land \dots \land d y_{m}$

Ограничение системы (1) на $M_{c}$ теперь имеет вид

${\dot{y}}_{2} = {φ_{2} |}_{y_{1} = 0}, \dots, {\dot{y}}_{m} = {φ_{m} |}_{y_{1} = 0}$

Проверка того, что $\hat{𝐯} | 𝑴_{𝒄}$ — форма инвариантной меры (или, другими словами, что ${α |}_{y_{1} = 0}$ — плотность инвариантной меры в координатах $y$ ) теперь сводится к применению теоремы Лиувилля).