Лемма об аннуляторе канонической 2-формы. Интегральный инвариант Пуанкаре-Картана. Интегральный инвариант Пуанкаре. Инвариантность канонической 2-формы при сдвиге по траекториям.

Пусть ${\textstyle (q,p)}$ — канонические координаты на фазовом пространстве ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ гамильтоновой системы. Уравнения Гамильтона задаются в расширенном фазовом пространстве ${\textstyle {\hat {\mathcal {M}}}={\mathcal {M}}\times \mathbb {R} }$ в координатах ${\textstyle (q,p,t)}$ векторным полем

${\textstyle {\hat {\mathbf {v} }}_{\boldsymbol {H}}=\left({\boldsymbol {H}}_{\mathbf {p} },-{\boldsymbol {H}}_{\mathbf {q} },\mathbf {1} \right)}$

где для краткости введены обозначения ${\textstyle H_{\mathbf {p} }=\partial H/\partial \mathbf {p} ,H_{\mathbf {q} }=\partial H/\partial \mathbf {q} }$ .

Рассмотрим дифференциальную 1-форму ${\textstyle \lambda =\mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt}$ на ${\textstyle {\hat {\mathcal {M}}}}$ . Её дифференциал ${\textstyle d\lambda }$ является 2-формой, а значит, билинейной кососимметрической функцией на касательном пространстве ${\textstyle T_{\mathbf {x} }{\hat {\mathcal {M}}}}$ в любой точке ${\textstyle \mathbf {x} \in {\hat {\mathcal {M}}}}$ . Ненулевой вектор ${\textstyle \mathbf {v} \in T_{\mathbf {x} }{\hat {\mathcal {M}}}}$ называется аннулятором формы ${\textstyle d\lambda }$ , если для любого вектора ${\textstyle \mathbf {u} \in T_{\mathbf {x} }{\hat {\mathcal {M}}}}$ имеем ${\textstyle d\lambda (\mathbf {u} ,\mathbf {v} )=0}$ . Инвариантный смысл гамильтонова векторного поля дает следующая

Лемма. Векторное поле ${\textstyle {\hat {\mathbf {v} }}_{\boldsymbol {H}}}$ является аннулятором 2- формы ${\textstyle d\lambda }$ .

Доказательство. Положим ${\textstyle \mathbf {u} =(\mathbf {a} ,\mathbf {b} ,c)}$ , где ${\textstyle \mathbf {a} ,\mathbf {b} \in \mathbb {R} ^{n}}$ и ${\textstyle c\in \mathbb {R} }$ — компоненты, соответствующие координатам ${\textstyle q,p}$ и ${\textstyle t}$ соответственно. Так как ${\textstyle d\mathbf {\lambda } =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} -dH\wedge dt}$ , по формуле из курса дифференциальной геометрии получим

${\textstyle {\begin{aligned}d\lambda \left(\mathbf {u} ,{\hat {\mathbf {v} }}_{H}\right)&=\mathbf {b} H_{\mathbf {p} }-\mathbf {a} \left(-H_{\mathbf {q} }\right)-\left(H_{\mathbf {q} }\mathbf {a} +H_{\mathbf {p} }\mathbf {b} +H_{t}c\right)\cdot 1+\\&+\left(H_{\mathbf {q} }H_{\mathbf {p} }+H_{\mathbf {p} }\left(-H_{\mathbf {q} }\right)+H_{t}\cdot \mathbf {1} \right)\cdot c=0\end{aligned}}}$

(произведения векторов в этом равенстве понимаются как скалярные).

Лемма об аннуляторе показывает, что гамильтонова система полностью задается дифференциальной 2-формой Пуанкаре— Картана на расширенном фазовом пространстве. Поскольку дифференциальные формы имеют инвариантный смысл, независимо от выбора координат, гамильтоновы системы имеют инвариантный смысл.

Выведем из леммы об аннуляторе теорему об интегральном инварианте Пуанкаре—Картана. Пусть ${\textstyle \gamma _{0}}$ — ориентированная замкнутая кривая в ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ . Выпустив из каждой точки ${\textstyle \gamma _{0}}$ траекторию уравнений Гамильтона, получим двумерную поверхность ${\textstyle \Sigma }$ , называемую трубкой траекторий.

Предложение. Пусть ${\textstyle \gamma _{0}}$ — ориентированная замкнутая кривая в ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ , а ${\textstyle \gamma }$ — кривая, полученная из ${\textstyle \gamma _{0}}$ в результате непрерывной деформации вдоль трубки траекторий. Тогда

${\textstyle \int _{\gamma _{0}}\lambda =\int _{\gamma }\lambda }$

Доказательство. Действительно, обозначим через ${\textstyle \Sigma _{0}}$ учатсток боковой поверхности трубки между кривыми ${\textstyle \gamma _{0}}$ и ${\textstyle \gamma }$ . Выберем на ${\textstyle \Sigma _{0}}$ ориентацию так, чтобы край ${\textstyle \partial \Sigma _{0}}$ дЕо с учетом ориентации имел вид ${\textstyle \partial \Sigma _{0}=\left\{\gamma _{0}\right\}\cup \{-\gamma \}}$ . По формуле Стокса ${\textstyle \int _{\mathrm {\gamma } _{0}}\lambda -\int _{\mathbf {\gamma } }\lambda =\int _{\Sigma _{0}}d\lambda }$ . Трубка траекторий двумерна, причем в любой точке касательная плоскость к ней содержит аннулятор ${\textstyle {\hat {\mathbf {v} }}_{H}}$ формы ${\textstyle d\lambda }$ . Поэтому ограничение ${\textstyle d\left.\lambda \right|_{\Sigma _{0}}}$ равно нулю.

Переформулируем предложение в терминах фазового потока ${\textstyle \varphi ^{\tau }:{\hat {\mathcal {M}}}\rightarrow {\hat {\mathcal {M}}}}$ в расширенном фазовом пространстве: для любой замкнутой кривой ${\textstyle \gamma _{0}}$ в расширенном фазовом пространстве и любого ${\textstyle \tau }$

${\textstyle \int _{\varphi ^{T}\gamma _{0}}\lambda =\int _{\Upsilon _{0}}\lambda }$

Если кривая ${\textstyle \gamma _{0}}$ лежит в гиперплоскости ${\textstyle t=t_{0}}$ ,то

${\textstyle \int _{\gamma }\lambda =\int _{\mathrm {\gamma } _{0}}\mathbf {p} d\mathbf {q} }$

Кривая ${\textstyle \gamma _{1}=\varphi ^{\tau }\gamma _{0}}$ лежит в гиперплоскости ${\textstyle t=t_{1}=t_{0}+\tau }$ . Получена следующая

Теорема. (теорема Пуанкаре) Для любой замкнутой кривой в гиперплоскости ${\textstyle t=t_{0}}$

${\textstyle \int _{\varphi ^{T}\gamma _{0}}\mathbf {p} d\mathbf {q} =\int _{\mathbf {\gamma } _{0}}\mathbf {p} d\mathbf {q} }$

Выражение ${\textstyle \int _{\mathbf {\gamma } _{0}}\mathbf {p} d\mathbf {q} }$ называется относительным интегральным инвариантом Пуанкаре.

Рассмотрим теперь дифференциальную 2-форму

${\textstyle \omega =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} =\sum dp_{i}\wedge dp_{i}}$

Легко видеть, что ${\textstyle \omega =d(\mathbf {p} d\mathbf {q} )}$ , где ${\textstyle d}$ — внешний дифференциал.

Теорема. (теорема Пуанкаре) Для любой двумерной ориентированной поверхности ${\textstyle \Sigma \subset {\mathcal {M}}\times \left\{t_{0}\right\}}$

${\textstyle \iint _{\Sigma }d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} =\iint _{\Phi ^{\tau }(\Sigma )}d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} }$

Это выражение называется абсолютным интегральным инвариантом Пуанкаре (в относительном интегральном инварианте интегрирование ведется по многообразию без границы, а в абсолютном — по любому многообразию).

Доказательство. Границей двумерной поверхности ${\textstyle \Sigma }$ является замкнутая кривая ${\textstyle \gamma =\partial \Sigma }$ . Аналогично ${\textstyle \varphi ^{\top }(\gamma )=\partial \varphi ^{\tau }(\Sigma )}$ . По формуле Стокса

${\textstyle \int _{\Sigma }\omega =\int _{r}\mathbf {p} d\mathbf {q} ,\quad \int _{\varphi ^{r}(\Sigma )}\omega =\int _{\varphi ^{\tau }(\gamma )}\mathbf {p} d\mathbf {q} }$ ,

так что эта теорема вытекает из предыдущей.

Часто бывает удобно вместо расширенного фазового пространства ${\textstyle {\tilde {\mathcal {M}}}={\mathcal {M}}\times \mathbb {R} }$ рассматривать обычное фазовое пространство ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ . Формы ${\textstyle \mathbf {p} d\mathbf {q} }$ и ${\textstyle d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} }$ можно отождествить с дифференциальными формами на ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ . Фазовый поток ${\textstyle \varphi ^{\tau }:{\hat {\mathcal {M}}}\rightarrow {\hat {\mathcal {M}}}}$ определяет семейство отображений ${\textstyle g_{t_{0}}^{t_{1}}:{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {M}}}$ за время от ${\textstyle t_{0}}$ до ${\textstyle t_{1}}$ :

${\textstyle \varphi ^{t_{1}-t_{0}}\left(\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t_{0}\right)=\left(g_{t_{0}}^{t_{1}}(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ),t_{1}\right)}$

Тогда теоремы Пуанкаре принимают вид

${\textstyle \int _{g_{t_{0}}^{t_{1}}(\gamma )}\mathbf {p} d\mathbf {q} =\int _{\mathbf {Y} }\mathbf {p} d\mathbf {q} ,\quad \int _{g_{t_{0}}^{t_{1}}(\Sigma )}d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} =\int _{\mathbf {\Sigma } }d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} }$

для любой замкнутой ориентированной кривой ${\textstyle \gamma }$ и двумерной ориентированной поверхности ${\textstyle \Sigma }$ в фазовом пространстве.

Прообразом дифференциальной ${\textstyle k}$ -формы ${\textstyle \omega }$ на гладком многообразии (или области в евклидовом пространстве) ${\textstyle N}$ при гладком отображении ${\textstyle f:M\rightarrow N}$ называется ${\textstyle k}$ -форма ${\textstyle f^{*}\omega }$ на ${\textstyle M}$ , такая, что для любой ${\textstyle k}$ -мерной ориентированной поверхности ${\textstyle \Sigma }$ в ${\textstyle M}$

${\textstyle \int _{f(\Sigma )}\omega =\int _{\Sigma }f^{*}\omega }$

Предложение. Сдвиг ${\textstyle f=g_{t_{0}}^{t_{1}}:{\mathcal {M}}\rightarrow {\mathcal {M}}}$ вдоль траекторий гамильтоновой системы сохраняет 2-форму ${\textstyle \omega =d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} }$ на фазовом пространстве: ${\textstyle f^{*}\omega =\omega }$ .

Доказательство. Для любой двумерной ориентированной поверхности ${\textstyle \Sigma }$ в фазовом пространстве

${\textstyle \int _{\Sigma }f^{*}\omega =\int _{f(\Sigma )}\omega =\int _{\Sigma }\omega }$

Поскольку ${\textstyle \Sigma }$ произвольна, ${\textstyle f^{*}\omega =\omega }$ .

Точно так же доказывается следующее

Предложение. Фазовый поток ${\textstyle \varphi ^{\tau }:{\hat {\mathcal {M}}}\rightarrow {\hat {\mathcal {M}}}}$ в расширенном фазовом пространстве сохраняет 2-форму ${\textstyle d\lambda =d(\mathbf {p} d\mathbf {q} -Hdt)=d\mathbf {p} \wedge d\mathbf {q} -dH\wedge dt}$ .

Итак, получается, что для любого ${\textstyle k}$ форма ${\textstyle \omega ^{k}=\underbrace {\omega \wedge \cdots \wedge \omega } _{k}}$ инвариантна относительно отображений ${\textstyle f=g_{t_{0}}^{t_{1}}}$ , т. е. является интегральным инвариантом гамильтоновой системы:

${\textstyle f^{*}\omega ^{k}=\omega ^{k}}$ или ${\textstyle \int _{\Sigma }\omega ^{k}=\int _{f(\Sigma )}\omega ^{k}}$

для любой ориентированной ${\textstyle 2k}$ -мерной поверхности ${\textstyle \Sigma \subset {\mathcal {M}}}$ .