Понижение порядка по Уиттекеру. Автономизация системы

Пусть гамильтониан ${\textstyle H=H(q,p)}$ не зависит явно от времени ${\textstyle t}$ . Рассмотрим регулярный уровень энергии ${\textstyle {\mathcal {M}}_{h}=\{{\boldsymbol {H}}=h\}}$ в фазовом пространстве, не содержащий положений равновесия ( ${\textstyle dH(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\neq 0}$ при ${\textstyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} )\in {\mathcal {M}}_{h}}$ ). Тогда ${\textstyle {\mathcal {M}}_{h}}$ - гладкая гиперповерхность. Определим функционал действия Мопертюи на множестве гладких кривых ${\textstyle \gamma :\left[t_{0},t_{1}\right]\rightarrow {\mathcal {M}}_{h},\gamma (t)=(\mathbf {q} (t),\mathbf {p} (t))}$ по формуле

${\textstyle J(\gamma )=\int _{\gamma }\mathbf {p} d\mathbf {q} }$

Функционал ${\textstyle J}$ не зависит от параметризации кривой ${\textstyle \gamma }$ , а только от ее ориентации.

Теорема. (принцип Мопертюи в фазовом пространстве). Кривая ${\textstyle \gamma }$ на уровне энергии ${\textstyle M_{h}}$ является траекторией гамильтоновой системы тогда и только тогда, когда она является экстремалью функционала ${\textstyle J}$ в классе кривых на ${\textstyle M_{h}}$ с закрепленными концами.

Под траекторией гамильтоновой системы понимается ориентированная геометрическая кривая в фазовом пространстве, соответствующая решению. Параметризация значения не имеет.

Доказательство. Пусть ${\textstyle \gamma :\left[t_{0},t_{1}\right]\rightarrow {\mathcal {M}}_{h}}$ — решение гамильтоновой системы, а ${\textstyle \Upsilon _{\alpha }:\left[t_{0},t_{1}\right]\rightarrow {\mathcal {M}}_{h}}$ - вариация с закрепленными концами ${\textstyle \mathbf {x} _{0}=\left(\mathbf {q} _{0},\mathbf {p} _{0}\right),\mathbf {x} _{1}=\left(\mathbf {q} _{1},\mathbf {p} _{1}\right)}$ . Отметим, что ${\textstyle J(\gamma _{\alpha })}$ не зависит от параметризации, так что без ограничения общности можно считать, что ${\textstyle t_{0}<t_{1}}$ не зависят от ${\textstyle \alpha }$ . Тогда

${\textstyle A\left(\gamma _{\alpha }\right)=J\left(\gamma _{\alpha }\right)-h\left(t_{1}-t_{0}\right)}$ ,

так что ${\textstyle A\left(\gamma _{\alpha }\right)}$ и ${\textstyle J\left(\gamma _{\alpha }\right)}$ отличаются на константу.

Поскольку ${\textstyle \left.{\frac {d}{d\alpha }}\right|_{\alpha =0}A\left(\gamma _{\alpha }\right)=0}$ по принципу Гамильтона, получим ${\textstyle \left.{\frac {d}{d\alpha }}\right|_{\alpha =0}J\left(\gamma _{\alpha }\right)=0}$ , что и требовалось.

Обратное утверждение доказывается несколько сложнее.

Задача. Докажите обратное утверждение, используя метод неопределенных множителей Лагранжа.

Следствие. Траектории гамильтоновой системы на уровне энергии ${\textstyle {\boldsymbol {\Sigma }}={\mathcal {M}}_{h}\subset \mathbb {R} ^{2n}}$ определяются только поверхностью ${\textstyle \Sigma }$ , но не конкретным видом функции ${\textstyle H}$ .

Попробуем ограничить исходную систему уравнений Гамильтона на ${\textstyle M_{h}}$ так, чтобы уравнения сохранили обычный (канонический) гамильтонов вид. Для этого будем считать ${\textstyle M_{h}}$ расширенным фазовым пространством системы с ${\textstyle n-1}$ степенями свободы. Перенумеровав обобщенные координаты и применив, если надо, каноническую замену ${\textstyle \mathbf {q} \mapsto -\mathbf {p} ,\mathbf {p} \mapsto \mathbf {q} }$ , добьемся, чтобы ${\textstyle H_{p_{n}}\neq 0}$ . Будем параметризовать траектории гамильтоновой системы координатой ${\textstyle \tau =q_{n}}$ так, что ${\textstyle \tau }$ играет роль времени. Поскольку ${\textstyle {\dot {q}}_{n}=H_{p_{n}}\neq 0}$ , замена ${\textstyle t\mapsto q_{n}}$ возможна.

Выразим из уравнения ${\textstyle {\boldsymbol {H}}={\boldsymbol {h}}}$ :

${\textstyle p_{n}=-K\left(q_{1},\dots ,q_{n-1},p_{1},\ldots ,p_{n-1},q_{n},h\right)}$

Положим ${\textstyle \mathbf {Q} =\left(q_{1},\ldots ,q_{n-1}\right),\mathbf {P} =\left(p_{1},\ldots ,p_{n-1}\right)}$ . Тогда ${\textstyle K=K(\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,\tau ,h)}$ .

Теорема. Траектории уравнений Гамильтона на уровне энергии ${\textstyle {\mathcal {M}}_{h}}$ , если их параметризовать параметром ${\textstyle \tau }$ , совпадают с траекториями гамильтоновой системы с функцией Гамильтона ${\textstyle K}$ :

${\textstyle \mathbf {Q} ^{\prime }=K_{\mathbf {P} },\quad \mathbf {P} ^{\prime }=-K_{\mathbf {Q} },\quad (\cdot )^{\prime }={\frac {d}{d\tau }}}$

Доказательство. Для любой кривой ${\textstyle \gamma }$ на уровне ${\textstyle M_{h}}$ имеем

${\textstyle J(\gamma )=\int _{\mathbf {Y} }\mathbf {p} d\mathbf {q} =\int (\mathbf {P} d\mathbf {Q} -{\boldsymbol {K}}d\tau )}$

По принципу Мопертюи (эта часть была полностью доказана) траектории уравнений Гамильтона на уровне ${\textstyle M_{h}}$ являются экстремалями функционала ${\textstyle \int (\mathbf {P} d\mathbf {Q} -{\boldsymbol {K}}d\tau )}$ на множестве кривых ${\textstyle (\mathbf {Q} (\tau ),\mathbf {P} (\tau ))}$ с закрепленными концами. Теперь теорема следует из принципа Гамильтона в пространстве переменных ${\textstyle (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} ,\mathbf {\tau } )}$ .

Заметим, что из этой теоремы вытекает недоказанная часть принципа Мопертюи. Действительно, поскольку кривая ${\textstyle \gamma \subset {\mathcal {M}}_{h}}$ является экстремалью ${\textstyle J}$ тогда и только тогда, когда она является решением уравнений Уитеккера, через любую точку ${\textstyle M_{h}}$ проходит единственная экстремаль ${\textstyle J}$ . Но то же верно для траекторий гамильтоновой системы. Значит, любая экстремаль является траекторией.

Следует отметить, что за понижение порядка пришлось заплатить определенную цену: система перестала быть автономной. Операцию автономизации системы, в некотором смысле, обратную к понижению порядка по Уиттекеру, описывает следующее

Предложение. Неавтономные уравнения Гамильтона с функцией Гамильтона ${\textstyle H=H(q,p,t)}$ могут быть получены из автономных уравнений Гамильтона с функцией Гамильтона ${\textstyle {\mathcal {H}}(\mathbf {q} ,t,\mathbf {p} ,E)=H(\mathbf {p} ,\mathbf {q} ,\tau )+E}$ :

${\textstyle {\begin{array}{c}{\mathbf {q} ^{\prime }={\mathcal {H}}_{\mathbf {p} },\quad \mathbf {p} ^{\prime }=-{\mathcal {H}}_{\mathbf {q} },\quad t^{\prime }={\mathcal {H}}_{E},\quad E^{\prime }=-{\mathcal {H}}_{\mathrm {r} }}\\{(\cdot )^{\prime }={\frac {d}{d\tau }}}\end{array}}}$

в результате проекции расширенных фазовых пространств ${\textstyle (\mathbf {q} ,t;\mathbf {p} ,E,\tau )\mapsto (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,t)}$ .

Доказательство. Сразу следует из сравнения системы из условия с исходной системой

${\textstyle {\dot {\mathbf {q} }}={\boldsymbol {H}}_{\mathbf {p} },\quad {\dot {\mathbf {p} }}=-H_{\mathbf {q} },\quad {\dot {t}}=1}$

Таким способом из неавтономной системы получаем автономную за счет увеличения числа степеней свободы.