Преобразование Лежандра и его свойства

Гладкая функция $f : ℝ^{n} \to ℝ$ определяет отображение

$𝑭 : ℝ^{n} \to ℝ^{n}, 𝐱 \mapsto 𝐲 = F (𝐱) = \frac{\partial f}{\partial 𝐱}$

Предположим, что отображение $F$ имеет гладкое обратное $F^{- 1} : ℝ^{n} \to ℝ^{n}$ . Локально это гарантируется условием Лежандра $\det \frac{\partial^{2} f}{\partial 𝐱^{2}} \neq 0$ . Будем предполагать, что это условие выполнено. Преобразованием Лежандра функции $f$ называют функцию $g = \hat{f} : ℝ^{n} \to ℝ$ :

$g (𝐲) = {(⟨ 𝐲, 𝐱 ⟩ - f (𝐱)) |}_{𝐱 = F^{- 1} (𝐲)}$

Из следующего утверждения видно, что $g$ также удовлетворяет условию Лежандра.

Лемма. Пусть для функции $f (x)$ в точке $x$ выполнено условие Лежандра, тогда в некоторой окрестности точки $𝐲 = \frac{\partial f}{\partial 𝐱}$ определено преобразование Лежандра $g (y)$ и $\frac{\partial f}{\partial 𝐱} = 𝐲, \frac{\partial g}{\partial 𝐲} = 𝐱, \frac{\partial^{2} g}{\partial 𝐲^{2}} = {(\frac{\partial^{2} f}{\partial 𝐱^{2}})}^{- 1}$

Доказательство. Первое соотношение выполнено по определению. Используя его и дифференцируя

$d g (𝐲) = ⟨ \frac{\partial g}{\partial 𝐲}, d 𝐲 ⟩ = ⟨ 𝐲, d 𝐱 ⟩ + ⟨ d 𝐲, 𝐱 ⟩ - ⟨ \frac{\partial f}{\partial 𝐱}, d 𝐱 ⟩ = ⟨ d 𝐲, 𝐱 ⟩$

получаем второе. Отсюда получаем третье:

$\frac{\partial^{2} g}{\partial 𝐲^{2}} = \frac{\partial 𝐱}{\partial 𝐲} = {(\frac{\partial 𝐲}{\partial 𝐱})}^{- 1} = {(\frac{\partial^{2} f}{\partial 𝐱^{2}})}^{- 1}$

Предложение. Преобразование Лежандра инволютивно:

$\hat{\hat{f}} = \hat{g} = f$

Доказательство. Поскольку $f (x) = ⟨ 𝐲, x ⟩ - g (y)$ , достаточно доказать, что $\frac{\partial g}{\partial 𝐲} = 𝐱$ . Но это следует из леммы.

В частности, гамильтониан — преобразование Лежандра лагранжиана, а лагранжиан — преобразование Лежандра гамильтониана.

Лемма. Пусть функция $f = f (x, z)$ зависит от дополнительного переменного $z$ . Тогда $g = g (𝐲, 𝐳)$ и $\frac{\partial g}{\partial z} = - \frac{\partial f}{\partial z}$ .

Доказательство. Повторяя доказательство леммы выше, получим

$d g (𝐲, 𝐳) = ⟨ d 𝐲, 𝐱 ⟩ - ⟨ \frac{\partial f}{\partial 𝐳}, d 𝐳 ⟩$

Применив данное утверждение к функции Лагранжа $L (𝐪, \dot{𝐪}, t)$ , получим, что в канонических переменных уравнения Лагранжа переходят в уравнения Гамильтона. Отметим еще, что функция Рауса — преобразование Лежандра лагранжиана по циклическим скоростям.