Свойства уравнений Гамильтона: интеграл энергии; циклические интегралы и понижение порядка в уравнениях Гамильтона. Инвариантная мера уравнений Гамильтона (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема). Инвариантная мера уравнений Лагранжа.

Уравнения Гамильтона: $\dot{𝐱} = 𝐯_{𝑯} (𝐱, 𝒕)$ , где $𝐱 = (𝐪, 𝐩)$ , а $𝐯_{H} (𝐱, t) = (\partial H / \partial 𝐩, - \partial H / \partial 𝐪)$ — гамильтоново векторное поле на фазовом пространстве $ℝ^{2 n}$ .

Функция Гамильтона $H (𝐪, 𝐩, 𝒕)$ — это обобщенная энергия $E = \frac{\partial L}{\partial \dot{𝐪}} \dot{𝐪} - L$ , выраженная через $q, p, t$ . Для натуральной системы она совпадает с полной механической энергией системы.

Теорема. (об изменении энергии). Пусть $\dot{H}$ — производная функции $H$ в силу уравнений Гамильтона. Тогда $\dot{H} = \frac{\partial H}{\partial t}$ .

Доказательство. По определению $\dot{𝑯} = ⟨ \frac{\partial 𝑯}{\partial 𝐪}, \dot{𝐪} ⟩ + ⟨ \frac{\partial 𝑯}{\partial 𝐩}, \dot{𝐩} ⟩ + \frac{\partial H}{\partial t}$ . Первые два члена суммы взаимно уничтожаются при подстановке выражений для $\dot{q}$ и $\dot{p}$ .

Следствие. Если гамильтониан $H = H (q, p)$ не зависит явно от времени, то он является первым интегралом уравнений Гамильтона.

Если координата $q_{i}$ циклическая, т. е. $\partial L / \partial q_{i} = 0$ , то ${\dot{p}}_{i} = \partial H / \partial q_{i} = 0$ . Значит, $p_{i}$ — первый интеграл уравнений Гамильтона. Понижение порядка по Раусу в гамильтоновой форме тривиально. «Забываем» уравнение ${\dot{q}}_{i} = \partial H / \partial p_{i}$ и считаем $p_{i} = c = c o n s t$ . Получаем гамильтониан и уравнения Гамильтона для $2 n - 2$ переменных.

Возьмем дивергенцию гамильтонова векторного поля $𝐯_{H} (𝐱, t) = (\partial H / \partial 𝐩, - \partial H / \partial 𝐪)$ :

$div 𝐯_{H} = \sum (\frac{\partial}{\partial q_{j}} \frac{\partial H}{\partial p_{j}} - \frac{\partial}{\partial p_{j}} \frac{\partial H}{\partial q_{j}}) = 0$

Следовательно, из теоремы Лиувилля вытекает, что стандартная лебегова мера, плотность которой в координатах $(q, p)$ равна 1, инвариантна относительно фазового потока. Доказана следующая

Теорема. (теорема Лиувилля о сохранении фазового объема). Фазовый поток гамильтоновой системы имеет инвариантную меру $d p d q$ . Более точно, пусть $g_{t_{0}}^{t_{1}} : ℝ^{2 n} \to ℝ^{2 n}$ — сдвиг вдоль траекторий гамильтоновой системы за время $t_{0} \leq t \leq t_{1}$ . Тогда для любой области $D$

$vol (g_{t_{0}}^{t_{1}} D) = vol (D)$

Следствие. Уравнения Лагранжа имеют инвариантную меру.

Задача. Покажите, что плотность этой меры в пространстве переменных $𝐪, \dot{𝐪}$ равна определителю матрицы $\partial^{2} L / \partial {\dot{𝐪}}^{2}$ , где $L (q, \dot{𝐪}, t)$ – лагранжиан системы. В частности, для натуральных механических систем плотность инвариантной меры в пространстве переменных $𝐪, \dot{𝐪}$ равна определителю матрицы кинетической энергии.