Скобка Пуассона и ее свойства. Тождество Якоби. Теорема Пуассона о первых интегралах.

Пусть ${\textstyle ({\mathcal {M}},\omega )}$ — симплектическое многообразие. Для любых двух гладких функций ${\textstyle H,F}$ на ${\textstyle {\mathcal {M}}}$ определим их скобку Пуассона

${\textstyle \{H,F\}=\partial _{\mathbf {v} _{H}}F=dF\left(\mathbf {v} _{H}\right)}$

Здесь ${\textstyle \partial _{\mathbf {v} _{H}}}$ — оператор дифференцирования вдоль векторного поля ${\textstyle v_{H}}$ . Первое равенство — определение, а второе — просто тождество.

Следующие свойства скобки Пуассона сразу вытекают из определения.

1. Гладкая функция ${\textstyle F}$ — первый интеграл уравнений Гамильтона с гамильтонианом ${\textstyle H:{\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} }$ тогда и только тогда, когда ${\textstyle \{H,F\}=0}$ .

2. ${\textstyle \{H,F\}=\omega \left(\mathbf {v} _{H},\mathbf {v} _{F}\right)}$

3. Операция ${\textstyle \{\cdot ,\cdot \}}$ билинейна и кососимметрична.

4. В канонических координатах

${\textstyle \{H,F\}=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial H}{\partial p_{j}}}{\frac {\partial F}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial H}{\partial q_{j}}}{\frac {\partial F}{\partial p_{j}}}\right)}$

Поскольку ${\textstyle F\mapsto \{F,H\}}$ — оператор дифференцирования вдоль векторного поля, получаем следующее свойство

5. Тождество Лейбница:

${\textstyle \{FG,{\boldsymbol {H}}\}=F\{G,{\boldsymbol {H}}\}+\{F,{\boldsymbol {H}}\}{\boldsymbol {G}}}$

6. Тождество Якоби:

${\textstyle \{F,\{G,H\}\}+\{G,\{H,F\}\}+\{H,\{F,G\}\}=0}$

для любых трех функций ${\textstyle F,G,H:{\mathcal {M}}\rightarrow \mathbb {R} }$ .

Свойства 3 и 6 означают, что скобка Пуассона задает на пространстве гладких функций структуру алгебры Ли.

Предложение. (теорема Пуассона). Пусть ${\textstyle F}$ и ${\textstyle G}$ — первые интегралы гамильтоновой системы. Тогда ${\textstyle \{F,G\}}$ — тоже первый интеграл.

Доказательство. Действительно, если система автономна, то ${\textstyle \{H,F\}=\{H,G\}=0}$ . Тогда согласно тождеству Якоби имеем: ${\textstyle \{H,\{{\vec {F}},G\}\}=0}$ . Неавтономный случай сводится к этому с помощью автономизации.

К сожалению, это утверждение редко приносит пользу в задачах поиска новых интегралов движения. Как правило, скобка Пуассона двух первых интегралов оказывается уже известным интегралом или вообще нулем.