Положения равновесия натуральных лагранжевых систем.

Точка ${\textstyle q^{0}}$ в конфигурационном пространстве называется положением равновесия механической системы, если система вечно может оставаться в этом положении. Положению равновесия лагранжевой системы соответствует решение уравнений Лагранжа вида ${\textstyle q(t)=q^{0}}$ . В фазовом пространстве положение равновесия — это точка ${\textstyle (q^{0},0)}$ .

Лагранжева система называется натуральной, если

${\begin{array}{c}{L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=T(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})-V(\mathbf {q} )}\\{T={\frac {1}{2}}\sum a_{ij}(\mathbf {q} ){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}={\frac {1}{2}}\langle A(\mathbf {q} ){\dot {\mathbf {q} }},{\dot {\mathbf {q} }}\rangle }\end{array}}$ где матрица ${\textstyle A=(a_{ij})}$ положительно определена.

Если на систему материальных точек наложены идеальные связи, не зависящие от времени, и силы потенциальны, то такая система является натуральной.

Для натуральных систем при ${\textstyle {\dot {q}}=0}$ имеем ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}=0}$ и ${\textstyle {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}={\frac {\partial V}{\partial \mathbf {q} }}}$ . Подставив ${\textstyle \mathbf {q} (t)=\mathbf {q} ^{0},{\dot {\mathbf {q} }}={\ddot {\mathbf {q} }}=0}$ в уравнения Лагранжа, получаем следующее

Предложение. Точка ${\textstyle q^{0}}$ является положением равновесия натуральной лагранжевой системы тогда и только тогда, когда она является критической точкой потенциальной энергии ${\textstyle V}$ (т. е. ${\textstyle {\frac {\partial V}{\partial \mathbf {q} }}\left(\mathbf {q} ^{0}\right)=0}$ ).

Теорема Лагранжа-Дирихле.

Уравнения Лагранжа имеют второй порядок. Они легко приводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка в фазовом пространстве с координатами ${\textstyle (q,v)}$ , где новая переменная ${\textstyle v={\dot {q}}}$ .

Теорема. (теорема Лагранжа—Дирихле). Если ${\textstyle q^{0}}$ — точка строгого локального минимума потенциальной энергии, то ${\textstyle q^{0}}$ — устойчивое по Ляпунову положение равновесия натуральной системы.

Доказательство. Система натуральная, поэтому ${\textstyle (q^{0},0)}$ — точка строгого локального минимума полной энергии системы ${\textstyle H(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})=T+V}$ , рассматриваемой, как функция в фазовом пространстве. Поскольку ${\textstyle {\dot {H}}=0}$ , то ${\textstyle H(q,{\dot {q}})}$ — функция Ляпунова.