Теорема Пуанкаре о возвращении

Пусть ${\textstyle T}$ — эндоморфизм пространства ${\textstyle (M,\mu )}$ и ${\textstyle A\subset M}$ — измеримое множество. Точка ${\textstyle x\in A}$ называется возвращающейся (в ${\textstyle A}$ ), если ${\textstyle T^{n}(x)\in A}$ для некоторого ${\textstyle n\in \mathbb {N} }$ .

Теорема. Пусть ${\textstyle \mu (M)<\infty }$ . Тогда для любого измеримого ${\textstyle A\subset M}$ почти все точки ${\textstyle x\in A}$ — возвращающиеся

Доказательство. Докажем упрощенный вариант этого утверждения. Покажем, что в случае ${\textstyle \mu (A)>0}$ в ${\textstyle A}$ найдется хотя бы одна возвращающаяся точка. Допустим противное, что возвращающихся точек нет. Рассмотрим последовательность подмножеств:

$T^{-1}(A),T^{-2}(A),\ldots ,T^{-n}(A),\ldots$

Пусть какая-то пара из них имеет непустое пересечение: ${\textstyle W=T^{-k}(A)\cap T^{-m}(A)\neq \varnothing }$ для некоторых целых ${\textstyle k,m:1\leq k<m}$ . Возьмем ${\textstyle y\in W}$ . Тогда точка ${\textstyle x=T^{k}(y)\in A}$ возвращающаяся, так как ${\textstyle T^{m-k}(x)=T^{m}(y)\in A}$ . Это противоречит допущению. Значит, множества попарно не пересекаются и мера их объединения совпадает с суммой их мер:

${\begin{array}{c}{\mu \left(T^{-1}(A)\cup T^{-2}(A)\cup \ldots \right)=\sum _{i=1}^{\infty }\mu \left(T^{-i}(A)\right)=}\\{=\sum _{i=1}^{\infty }\mu (A)\leq \mu (M)}\end{array}}$

Так как ${\textstyle \mu (M)<\infty }$ , это неравенство может выполняться лишь в случае ${\textstyle \mu (A)=0}$ .

Доказательство 2. Полный вариант. Пусть ${\textstyle N\subset A}$ — множество, состоящее из всех невозвращающихся в А точек. Тогда ${\textstyle N=A\cap \left(\cap _{n=1}^{\infty }T^{-n}(M\backslash A)\right)}$ измеримо.

Если ${\textstyle x\in N}$ , то для любого натурального ${\textstyle n}$ имеем ${\textstyle T^{n}(x)\notin A}$ . Следовательно, ${\textstyle T^{n}(x)\notin N}$ , откуда вытекает, что ${\textstyle x\notin T^{-n}(N)}$ . Поэтому ${\textstyle N\cap T^{-n}(N)=\varnothing }$ . Отсюда следует, что ${\textstyle N,T^{-1}(N),T^{-2}(N),\dots }$ попарно не пересекаются. (Действительно, при ${\textstyle 0\leq n_{1}<n_{2}\quad T^{-n_{1}}(N)\cap T^{-n_{2}}(N)=T^{-n_{1}}(N\cap T^{-n_{2}+n_{1}}(N))=\varnothing }$ )

Поэтому

$\infty >\mu (M)\geq \mu \left(\cup _{n=0}^{\infty }T^{-n}(N)\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu \left(T^{-n}(N)\right)=\sum _{n=0}^{\infty }\mu (N)$

Это возможно лишь при ${\textstyle \mu (N)}$ .

Следствие. Почти все ${\textstyle x\in A}$ возвращаются бесконечное число раз.

Доказательство. Если точка ${\textstyle x\in A}$ возвращается лишь конечное число раз, то ${\textstyle x}$ не возвращается для ${\textstyle T^{p}}$ при некотором ${\textstyle p\in \mathbb {N} }$ . Множества ${\textstyle N_{p}}$ соответствующих невозвращающихся точек имеют меру нуль. Так как ${\textstyle \mu \left(\cup _{p\in \mathbf {N} }N_{p}\right))=0}$ , множество возвращающихся бесконечное число раз точек имеет меру, равную ${\textstyle \mu (A)}$ .