Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Билеты/Теорема Якоби о последнем множителе

Говорят, что система обыкновенных дифференциальных уравнений интегрируема в квадратурах, если общее решение системы может быть получено с помощью конечного набора алгебраических операций, взятия неявных (обратных) функций, дифференцирования (взятия частных производных) и нахождения первообразных (интегрирования по одной переменной).

Теорема. Если система $m$-го порядка имеет $m-1$ независимых первых интегралов $F_1,\dots ,F_{m-1}$, то она интегрируема в квадратурах.

Доказательство. Любое решение $x(t)$ системы $x=y(x)$ лежит на некотором совместном уровне интегралов $M=\{𝐱:F_1(𝐱)=c_1,\dots ,F_{m-1}(𝐱)=c_{m-1}\}$, где $c_k=F_k\left(𝐱\left(t_0\right)\right)$. В силу независимости первых интегралов $M$ — это гладкая кривая (или некоторый набор гладких кривых). Возьмем кривую, проходящую через начальную точку искомого решения. Она может быть параметризована, например, какой-нибудь координатой $x_r$, для которой $(m-1)\times (m-1)$-матрица $(\partial F_k/\partial x_j),j\ne r$, невырождена. Разрешая систему уравнений $F_1(𝐱)=c_1,\dots ,F_{m-1}(𝐱)=c_{m-1}$, выразим остальные координаты через $x_r:x_i=x_i\left(x_r\right)$. После этого зависимость $x_r(t)$ находится из уравнения ${\dot{x}}_r=v_r\left(x\left(x_r\right)\right)$, в котором переменные $x_r$ и $t$ разделяются. Затем определяются $x_i(t)=x_i(x_r(t)),i\ne r$.

Теорема. (теорема Якоби о последнем множителе). Пусть в окрестности неособой точки $x_0$ система $\dot{𝐱}=𝐯(𝐱)$ имеет инвариантную меру с гладкой плотностью $\rho (x)>0$. Тогда для интегрируемости в квадратурах достаточно иметь $n-2$ независимых первых интеграла.

Доказательство. Пусть $n=2$. Рассмотрим дифференциальную форму $\omega =-\rho v_{2}d{x}_1+\rho v_{1}d{x}_2$. Она замкнута, поскольку $d\omega =[\frac{\partial }{\partial x_1}\left(\rho v_1\right)+\frac{\partial }{\partial x_2}\left(\rho v_2\right)]d{x}_1\wedge d{x}_2=\mathrm{div}(\rho 𝐯)d{x}_1\wedge d{x}_2=0$. Согласно лемме Пуанкаре, локально $\omega$ является дифференциалом некоторой функции $F(x_1,x_2)$:

$\frac{\partial F}{\partial x_1}=-\rho v_2,\frac{\partial F}{\partial x_2}=\rho v_1$

Отсюда вытекает, что $\dot{F}=0$. Поэтому функция $F$ — первый интеграл. Поскольку $p\left(x_0\right)>0$ и $𝐯\left({𝐱}_0\right)\ne 0$, то $d{F|}_{{𝐱}_0}\ne 0$. Значит, система интегрируема в квадратурах.

Случай $n>2$ сводится к предыдущему. Действительно, ограничим систему на совместный уровень первых интегралов. Он двумерный, и у получившейся системы есть инвариантная мера с гладкой знакопостоянной плотностью.