Уравнение Гамильтона — Якоби. Полный интеграл. Разрешимость в квадратурах.[править]

Ограничимся такими каноническими заменами, в которых время не меняется: ${\textstyle t=T}$ . Будем искать каноническое преобразование ${\textstyle (\mathbf {q} ,\mathbf {p} ,{\boldsymbol {t}})\mapsto ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {t}})}$ такое, что в новых переменных гамильтониан тривиален: ${\textstyle {\mathcal {H}}({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},t)\equiv 0}$ , так что уравнения Гамильтона имеют вид ${\textstyle {\dot {\alpha }}=0,{\dot {\beta }}=0}$ . Если выразить старые переменные через новые: ${\textstyle \mathbf {q} =\mathbf {p} (\mathbf {\alpha } ,{\boldsymbol {\beta }},t),\mathbf {p} =\mathbf {p} ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {t}})}$ , то получится общее решение гамильтоновой системы, зависящее от ${\textstyle 2n}$ произвольных постоянных ${\textstyle \alpha ,\beta }$ . Ищем замену в классе преобразований с производящей функцией ${\textstyle S=S(q,Q,t)}$ , где ${\textstyle Q=\alpha }$ , ${\textstyle P=\beta }$ . Получаем уравнение Гамильтона — Якоби

${\textstyle H\left(q,{\frac {\partial S}{\partial q}},t\right)+{\frac {\partial S}{\partial t}}=0}$

Как обычно, производящая функция должна удовлетворять условию невырожденности

${\textstyle \operatorname {det} \left({\frac {\partial ^{2}S}{\partial q\partial \alpha }}\right)\neq 0}$

Семейство решений ${\textstyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {t}})}$ уравнения Гамильтона—Якоби, зависящее от параметра ${\textstyle \alpha \in \mathbb {R} ^{n}}$ таким образом, что выполнено условие невырожденности, называется полным интегралом уравнения Гамильтона—Якоби. Таким образом, доказана следующая

Теорема. (метод Гамильтона—Якоби). Если известен полный интеграл ${\textstyle S(q,\alpha ,t)}$ уравнения Гамильтона — Якоби, то общее решение ${\textstyle \mathbf {p} =\mathbf {p} ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},t),\mathbf {q} =\mathbf {q} ({\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {\beta }},{\boldsymbol {t}})}$ уравнений Гамильтона находится из уравнений

${\textstyle \mathbf {p} ={\frac {\partial S({\dot {\mathbf {q} }},{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {t}})}{\partial \mathbf {q} }},\quad {\boldsymbol {\beta }}={\frac {\partial S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},{\boldsymbol {t}})}{\partial {\boldsymbol {\alpha }}}}}$

Если гамильтониан не зависит от времени: ${\textstyle H=H(\mathbf {q} ,\mathbf {p} )}$ , то полный интеграл можно искать в виде ${\textstyle S(\mathbf {q} ,{\boldsymbol {\alpha }},t)=-h({\boldsymbol {\alpha }})t+W(q,\alpha )}$ . Для функции ${\textstyle W}$ получается автономное уравнение Гамильтона — Якоби

${\textstyle H\left(q,{\frac {\partial W}{\partial q}}\right)=h}$

Разделение переменных в уравнении Гамильтона— Якоби.[править]

Если уравнение Гамильтона—Якоби имеет вид

${\textstyle \Phi \left(f\left({\frac {\partial W}{\partial q_{1}}},q_{1}\right),{\frac {\partial W}{\partial q_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial W}{\partial q_{n}}},q_{2},\ldots ,q_{n},\alpha \right)=0}$ ,

то говорят, что переменная ${\textstyle q_{1}}$ отделяется. Тогда полный интеграл можно искать в виде ${\textstyle W(q,\alpha )=W_{1}\left(q_{1},\alpha \right)+W_{2}\left(q_{2},\dots ,q_{n},\alpha \right)}$ , где ${\textstyle W_{1}}$ – решение уравнения ${\textstyle f\left({\frac {\partial W_{1}}{\partial q_{1}}},q_{1}\right)=k(\alpha )}$ . При этом ${\textstyle W_{2}}$ удовлетворяет уравнению

${\textstyle \Phi \left(k(\mathbf {\alpha } ),{\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{2}}},\ldots ,{\frac {\partial W_{2}}{\partial q_{n}}},q_{2},\ldots ,q_{n},\alpha \right)=0}$ .

Например, циклическая координата всегда отделяется. Если ${\textstyle q_{1}}$ — циклическая, то можно положить ${\textstyle W_{1}=\alpha _{1}q_{1}}$ .