Четность характеристического полинома линеаризованных уравнений при наличии гироскопических сил. Парность корней характеристического уравнения.

Пусть система консервативна, т. е. в ней отсутствуют диссипативные силы. Линеаризованные уравнения Лагранжа при наличии гироскопических сил имеют вид ${\textstyle A{\ddot {\mathbf {q} }}+B\mathbf {q} =C{\dot {\mathbf {q} }}}$ , где С — кососимметрическая; В —- симметрическая; А — симметрическая положительно определенная матрицы.

Предложение 9.5 Характеристический многочлен ${\textstyle f(\lambda )}$ консервативной системы четен. Если ${\textstyle \lambda }$ — его корень, то ${\textstyle -\lambda }$ также является его корнем.

Доказательство. Для любого комплексного ${\textstyle \lambda }$ имеем:

${\textstyle {\begin{array}{c}{f(\lambda )=\operatorname {det} \left(A\lambda ^{2}-C\lambda +B\right)^{T}=\operatorname {det} \left(A^{T}\lambda ^{2}-C^{T}\lambda +B^{T}\right)=}\\{=\operatorname {det} \left(A\lambda ^{2}+C\lambda +B\right)=f(-\lambda )}\end{array}}}$

Поскольку ${\textstyle f(\lambda )}$ — многочлен с вещественными коэффициентами, каждому его корню соответствует комплексно-сопряженный корень. Таким образом, ненулевые корни характеристического уравнения расположены на комплексной плоскости (рис. 9.6):

а) четверками ${\textstyle \lambda =a\pm ib}$ и ${\textstyle \lambda =-a\pm ib}$

б) парами ${\textstyle \lambda =\pm a}$ ;

в) парами ${\textstyle \lambda =\pm ib}$ X = гЬ.

Здесь ${\textstyle a}$ и ${\textstyle b}$ — вещественные постоянные. Видим, что в случаях «а» и «б» обязательно найдется корень с положительной вещественной частью, что означает неустойчивость положения равновесия. Таким образом, устойчивость положения равновесия может иметь место только в случае чисто мнимых и нулевых корней характеристического уравнения.

Формулировка теоремы Ляпунова о неустойчивости по первому приближению.

Если среди чисел ${\textstyle \lambda _{k}}$ есть отрицательные, то линеаризованные уравнения допускают экспоненциально растущие решения, а положение равновесия неустойчиво.