Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Билеты/Экстремальные свойства собственных значений

Экстремальные свойства собственных значений.

Для $q≠0$ введем функцию $Q(𝐪)=⟨B𝐪,𝐪⟩/⟨A𝐪,𝐪)$, которая иногда называется отношением Релея. В нормальных координатах $x_1,\dots x_n$ отношение Релея примет вид

$Q(𝐱)=\frac{{\lambda }_1{x}_1^2+\dots +{\lambda }_n{x}_n^2}{x_1^2+\dots +x_n^2},x\ne 0$

Для $\alpha >0$ имеем $Q(\alpha q)=Q(q)$, поэтому отношение Релея можно рассматривать, как гладкую функцию на поверхности $E_A=\{𝐪\in {ℝ}^n:⟨A𝐪,𝐪⟩=1\}$. Так как матрица $A$ положительно определена, $E_A$ — эллипсоид. Упорядочим собственные значения:

${\lambda }_1\le {\lambda }_2\le \dots \le {\lambda }_n$

Поскольку

${\lambda }_1(x_1^2+\dots +x_n^2)\le {\lambda }_1{x}_1^2+\dots +{\lambda }_m{x}_m^2\le {\lambda }_n(x_1^2+\dots +x_n^2)$

и

$Q(1,0,\dots ,0)={\lambda }_1,\dots ,Q(0,\dots ,0,1)={\lambda }_n$,

то

${\lambda }_1\le Q(𝐪)\le {\lambda }_n,{\lambda }_1={min}_{𝐪\ne 0}Q(𝐪),{\lambda }_n={max}_{𝐪\ne 0}Q(𝐪)$

Эти соотношения являются частным случаем общего утверждения. Чтобы его сформулировать для $m=1,\dots ,n$, обозначим $L_m$ — множество всех $n$-мерных подпространств в ${ℝ}^n$. Его элементы, т. е. подпространства размерности $m$, будем обозначать символом $l$.

Предложение. Для любого $m=1,\dots ,n$

${\lambda }_m={min}_{l\in L_m}({max}_{𝐪\in l\mathrm{\setminus }0}Q(𝐪))={max}_{l\in L_{n-m+1}}({min}_{𝐪\in l\mathrm{\setminus }0}Q(𝐪))$

Доказательство. Докажем только первое равенство. Второе доказывается аналогично. Поскольку отношение Релея представляет собой гладкую функцию на эллипсоиде $E_A$, то внутренний максимум существует. Существование минимума будет показано далее. Возьмем $m$-мерное пространство $\eta \in L_m$, которое в нормальных координатах высекается соотношениями $x_{m+1}=\dots =x_n=0$. На этом пространстве

$Q(𝐱)=\frac{{\lambda }_1{x}_1^2+\dots +{\lambda }_m{x}_m^2}{x_1^2+\dots +x_m^2},x\ne 0$

и, значит,

${max}_{𝐪\in \eta \mathrm{\setminus }0}Q(𝐪)={\lambda }_m$

Обозначим через $\mu \in L_{n-m+1}$ пространство размерности $n-m+1$, которое в нормальных координатах высекается соотношениями $x_1=\dots =x_{m-1}=0$. На этом пространстве $Q(𝐱)=\frac{{\lambda }_m{x}_m^2+\dots +{\lambda }_n{x}_n^2}{x_m^2+\dots +x_n^2},x\ne 0$

и, значит,

$Q(𝐪)\ge {\lambda }_m$ для любого $𝐪\in \mu \mathrm{\setminus }0$

Возьмем теперь любое $m$-мерное подпространство $l\in L_m$. Суммарная размерность пространств $\mu$ и $l$ составляет $n+1>n$, поэтому их пересечение содержит ненулевой вектор, используя который получаем из (9.7) оценку

${max}_{𝐪\in l_0}Q(𝐪)\ge {\lambda }_m$

Присоединив к этому неравенству соотношение (9.6), приходим к первому равенству утверждения, в котором минимум достигается при $l=\eta$.

Поведение собственных чисел при наложении связи.

Рассмотрим теперь, как изменятся собственные значения при наложении на систему дополнительной независимой связи $g(q)=0$, где $g$ — гладкая функция, такая что $\partial g/\partial {𝐪|}_0\ne 0$. Предполагаем, что $g(0)=0$. Более того, можно считать, что функция $g$ линейная, так как рассматривается линейное приближение.

Задача 9.6. Докажите, что в указанных предположениях точка $q=0$ останется положением равновесия.

Обобщенные координаты $q$ можно ввести таким образом, что $g(q)=q_n$, т. е. новая связь будет задаваться уравнением $q_n=0$. Обозначим $\tilde{Q}(q_1,\dots ,q_{n-1})$ — отношение Релея для новой системы.

Задача 9.7. Убедитесь, что $\tilde{Q}(q_1,\dots ,q_{n-1})=Q{(q)|}_{q_n=0}$

Обозначим ${\tilde{\lambda }}_1\le {\tilde{\lambda }}_2\le \dots \le {\tilde{\lambda }}_{n-1}$ — собственные значения новой системы.

Предложение 9.3. При наложении связи новые собственные значения системы перемежаются со старыми:

${\lambda }_1\le {\tilde{\lambda }}_1\le {\lambda }_2\le {\tilde{\lambda }}_2\le \dots \le {\tilde{\lambda }}_{n-1}\le {\lambda }_n$

Доказательство. Введем $n-1$-мерное пространство $\{𝐪:q_n=0\}$ и обозначим через ${\tilde{L}}_{𝒎}$ множество подпространств размерности $m$, лежащих в нем. Поскольку ${\widetilde{𝑳}}_m\subset L_m$, то из первого равенства (9.5)

${\tilde{\lambda }}_m={min}_{l\in {\tilde{L}}_m}({max}_{𝐪\in l_m}\tilde{Q}(𝐪))={min}_{l\in {\tilde{L}}_m}({max}_{𝐪\in l\mathrm{\setminus }0}Q(𝐪))\ge$

$\ge {min}_{l\in L_m}({max}_{𝐪\in l}Q(𝐪))={\lambda }_m$

а из второго равенства (9.5)

${\tilde{\lambda }}_m={max}_{l\in {\tilde{L}}_{n-m}}({min}_{𝐪\in l\mathrm{\setminus }0}\tilde{Q}(𝐪))={max}_{l\in {\tilde{L}}_{n-m}}({min}_{𝐪\in l\mathrm{\setminus }0}Q(𝐪))\le$

$\le {max}_{l\in L_{n-m}}({min}_{𝐪\in l\mathrm{\setminus }0}Q(𝐪))\doteq {\lambda }_{m+1}$

Задача 9.8. Пусть на систему наложено $k$ добавочных независимых связей. Покажите, что собственные числа ${\tilde{\lambda }}_m$ новой системы будут располагаться между собственными числами старой следующим образом:

${\lambda }_m\le {\tilde{\lambda }}_m\le {\lambda }_{m+k},m=1,\dots ,n-k$

Поведение собственных чисел при изменении жесткостных или инерционных характеристик.

Рассмотрим теперь две натуральные механические системы на одном и том же конфцгурационном пространстве. Пусть обе системы имеют одно и то же положение равновесия $q=0$. Обозначим матрицы уравнений первого приближения и отношения Релея этих систем сответственно $A_i,B_i,Q_i(q),i=1,2$.

Определение. Первая система имеет большую инерционность, чем вторая, в положении равновесия $q=0$, если

$⟨A_1\dot{𝐪},\dot{𝐪}⟩\ge ⟨A_2\dot{𝐪},\dot{𝐪}⟩$

Первая система имеет большую жесткость, чем вторая, в положении равновесия $q=0$, если

$⟨B_{1}q,q⟩\ge ⟨B_{2}q,q⟩$

Задача 9.9. Пусть первая система имеет меньшую инерционность или большую жесткость, чем вторая. Покажите, что $Q_1(𝐪)\ge Q_2(𝐪)$.

Задача 9.10. Докажите следующее утверждение.

Теорема. (теорема Релея). При уменьшении инерционности системы или при увеличении ее жесткости собственные значения не уменьшаются. Если же функция отношения Релея измененной системы отличается от исходной функции, то хотя бы одно собственное значение увеличится.

Рассмотрим теперь ситуацию, когда положение равновесия является точкой невырожденного локального минимума потенциальной энергии. В этом случае уравнения линейного приближения (9.2) называются уравнениями малых колебаний. Собственные значения этих уравнений положительны и равны квадратам частот малых колебаний (т.е. собственных частот): ${\omega }_i^2={\lambda }_i>0$. Из утверждения 9.3 и теоремы Релея 9.4 вытекают следующие свойства собственных частот системы.

Предложение 9.4. При наложении связи новые значения собственных частот системы перемежаются со старыми:

${\omega }_1\le {\tilde{\omega }}_1\le {\omega }_2\le {\tilde{\omega }}_2\le \dots \le {\tilde{\omega }}_{n-1}\le {\omega }_n$

Теорема. (теорема Релея). При уменьшении инерционности системы или при увеличении ее жесткости собственные частоты не уменьшаются. Если же функция отношения Релея $Q(q)$ измененной системы отличается от исходной функции, то хотя бы одна частота увеличится.