Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Карточки/Теорема Барбашина-Красовского об асимптотической устойчивости (формулировка)

Теорема. (теорема Барбашина — Красовского). Пусть найдется гладкая функция V на шаре ${\textstyle B_{\rho }}$ такая, что:

1) ${\textstyle V(0)=0,\quad V(x)>0}$ для любого ${\textstyle x\in B_{\rho }\backslash \{0\}}$

2) ${\textstyle {\dot {V}}(\mathbf {x} )=\left\langle {\frac {\partial V}{\partial \mathbf {x} }},\mathbf {v} \right\rangle \leq 0}$ для любого ${\textstyle x\in B_{\rho }}$

3) множество ${\textstyle {\dot {V}}(x)=0}$ не содержит решений системы (1), отличных от нулевого.

Тогда состояние равновесия ${\textstyle x=0}$ асимптотически устойчиво.