Участник:Isbur/Теоретическая механика III/Карточки/Явный вид уравнений Лагранжа

Пусть связи стационарны, тогда ${\textstyle r_{j}=r_{j}(q)}$. Кинетическая энергия в обобщенных координатах имеет вид ${\textstyle T=T_{2}={\frac {1}{2}}\sum _{i,j}a_{ij}(\mathbf {q} ){\dot {q}}_{i}{\dot {q}}_{j}}$, причём ${\textstyle a_{ij}=a_{ji}}$. Поэтому ${\textstyle {\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{j}a_{ij}{\dot {q}}_{j}}$. Значит,

${\textstyle {\frac {d}{dt}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{j}a_{ij}{\ddot {q}}_{j}+\sum _{j,k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k},\quad {\frac {\partial T}{\partial q_{i}}}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k}{\frac {\partial a_{jk}}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}}$

Замечаем, что

${\textstyle \sum _{j,k}{\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{k}}}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}={\frac {1}{2}}\sum _{j,k}\left({\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial a_{ik}}{\partial q_{j}}}\right){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}}$

Уравнения Лагранжа имеют вид

${\textstyle \sum _{j}a_{ij}{\ddot {q}}_{j}+{\frac {1}{2}}\sum _{j,k}\left({\frac {\partial a_{ij}}{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial a_{ik}}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial a_{jk}}{\partial q_{i}}}\right){\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}=Q_{i}\quad (1)}$

Пусть ${\textstyle a^{ij}}$ — матрица, обратная к ${\textstyle a_{ij}}$, так что ${\textstyle \sum _{s}a^{is}a_{sj}=\delta _{j}^{i}}$ – символ Кронекера. Домножив (1) на ${\textstyle a^{si}}$ и просуммировав по ${\textstyle i}$, получим явный вид уравнений Лагранжа:

${\textstyle {\ddot {q}}_{s}+\sum _{j,k}\Gamma _{jk}^{s}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}=\sum _{i}a^{si}Q_{i}=Q^{s}}$

Величины

${\textstyle \Gamma _{jk}^{i}={\frac {1}{2}}\sum _{s}a^{is}\left({\frac {\partial a_{sj}}{\partial q_{k}}}+{\frac {\partial a_{sk}}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial a_{jk}}{\partial q_{s}}}\right)}$

называются символами Кристоффеля римановой метрики

${\textstyle ds^{2}=\sum _{i,j}a_{ij}dq_{i}dq_{j}=2Tdt^{2}}$.

Иногда её называют кинетической метрикой.