Участник:Isbur/MMToolTestPage/Показать

Показать

Пусть V1 и V2 — два нормированных линейных пространства над K и T — линейный оператор из V1 в V2. Если существует такое неотрицательное число[1] M, что

   ∀ x ∈ V 1 : ‖ T x ‖ ⩽ M ‖ x ‖ , {\displaystyle \forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,} {\displaystyle \forall x\in V_{1}:\|Tx\|\leqslant M\|x\|,}

то оператор T называется ограниченным, а наименьшее такое возможное M — его нормой ‖T‖. Если V1 конечномерно, то всякий оператор ограничен.

Норма оператора T может быть вычислена по формуле[2]:

   ‖ T ‖ = max { ‖ T x ‖ : x ∈ V 1 ,   ‖ x ‖ = 1 } = sup { ‖ T x ‖ ‖ x ‖ : x ∈ V 1 ,   x ≠ 0 } . {\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\max\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}} {\displaystyle {\begin{aligned}\|T\|&=\max\{\|Tx\|:x\in V_{1},\ \|x\|=1\}\\&=\sup \left\{{\frac {\|Tx\|}{\|x\|}}:x\in V_{1},\ x\neq 0\right\}.\end{aligned}}}