Участник:Touol/Принцип максимальной симметрии

	Базовый уровень статей Выделить только проверенную информацию
	Создать черновик

Эта статья — часть материалов: Факультет теоретической физики

Этот раздел содержит гипотетические предположения, которые на данный момент не имеют подтверждения или не признаны научным сообществом.

Аннотация

В статье приведена аргументация объясняющая принцип соответствия максимума симметрии максимуму энтропии. После получения этого принципа, он был обнаружен в книге В.С. Урсов "Симметрия-диссеметрия в эволюции Мира" без его вывода, как здесь ниже. Пространственым симметриям бесконечного порядка может соответствывать почти бесконечная энтропия и соответственно могут возникать сильные энтропийные силы соответствующие этим симметриям. Выдвинута идея соответвия этих сил фундаментальным силам электромагнитного, слабого и сильного взаимодействия. К сожалению, пока решение задачи вывода этих сил из Принципа максимальной симметрии выше моих возможностей. Надеюсь, что появятся какие-нибудь подсказки от более физико-математически сильных людей :-).

Введение

Основная задача, которой я занимаюсь - это проблема квантовых измерений. Для нее возникло предположение, что квантовые измерения просходят тогда, когда в системе возникает скачок энтропии. С тех пор, я пытаюсь как-то объеденить основы квантовой механики, термодинамики и теории относительности. Возникло несколько оригинальных интересных логических конструкций и небольших фактиков. Самый интересное из них - это принцип максимальной симметрии.

Принцип максимальной симметрии

Он аргументирован довольно просто. Для начало, что такое симметрии.

Симметрии

Возьмем например ур-ние Шредингера:

$i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (\vec{r}, t) = [- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2} + V (\vec{r}, t)] Ψ (\vec{r}, t) .$ (1)

Если потециал $V (\vec{r}, t) = 0$ , то ур-ние Шредингера инвариантно к сдвигам координат и времени.

$i ℏ \frac{\partial}{\partial t} Ψ (\vec{r}, t) = [- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2}] Ψ (\vec{r}, t) .$ (2)

Ур-ния Шредингера для коодинат $t_{1} = t + C_{1}$ , $\vec{r_{1}} = \vec{r} + \vec{C_{2}}$ имеют тот же вид:

$i ℏ \frac{\partial}{\partial t_{1}} Ψ (\vec{r_{1}}, t_{1}) = [- \frac{ℏ^{2}}{2 m} \nabla^{2}] Ψ (\vec{r_{1}}, t_{1}) .$ (3)

Так же ур-ние симметрично относительно обращения времени $t_{1} = - t$ , обращения координат $\vec{r_{1}} = - \vec{r}$ , $x_{1} = - x$ , $y_{1} = - y$ , $z_{1} = - z$ и вращений.

Но сдвиг координат, в отличии от обращения, это симметрия бесконечного порядка. В трехмерном пространстве можно сдвинуть по 3 координатам независимо и порядок симметрии сдвига координат $\infty^{3}$ .

Если какое-то $Ψ (\vec{r}, t)$ решение ур-ния (2), то и $Ψ (\vec{r_{1}}, t_{1})$ тоже какое-то другое решение этого ур-ния.

Расмотрим статсумму из статистики и термодинамика.

Статсумма вырожденных уровней

Статсумма определяется как:

$Z = \sum_{j} g_{j} e^{- \frac{E_{j}}{k_{B} T}}$

где $g_{j}$ - степень вырождения уровня энергии. В квантовой механике, уровень энергии является вырожденным, если он соответствует двум или более различных измеримых состояний квантовой системы. Два или более различных состояния квантово-механической системы называются вырожденными, если они дают одно и то же значение энергии при измерении.

Сдвиги координат для ур-ния (2) дают множество состояний являющиееся решениями этого ур-ния. Не все из них линейно-независимы, но, например, в бесконечно широкой потенциальной яме (некоторое приближение свободных частиц), число линейно-независимых решений порождаемое сдвигом координат также бесконечно. Причем сдвиг координат для ур-ния (2) не меняет энергия состояния. Отсюда степень вырождения любого решения этого ур-ния бесконечна.

Вероятность $P_{j}$ , с которой система находится в микросостоянии $j$ , равна $P_{j} = \frac{1}{Z} g_{j} e^{- \frac{E_{j}}{k_{B} T}} .$

Допустим, что один из уровней статистической системы сильно вырожден $g_{j} \to \infty$ . Тогда вероятность нахождения системы на этом уровне стремиться к 1. То есть, если система находилась не в этом вырожденном состоянии, то она быстро придет в него.

А вот тут провал в аргументации :-(. Для ур-ния (2) все состояния, для всех состояний со всеми энергиями есть бесконечное число сдвигов. Для вероятности микросостояния бесконечные степени вырождения сократятся и вероятность микросостояний только от $e^{- \frac{E_{j}}{k_{B} T}}$ зависит.

В общем на этом пути Fatal error. $P_{j}$ зависит только энергии. А симметрия сдвигов может влиять только на объем, где можно найти частицу. Попробуем по другому.

Общая аргументация

Мне хотелось бы доказать, что кватовые системы стремяться к максимально симметричному состоянию. Или максимально симметричному состоянию квантовой системы соответствует максимальная энтропия системы.

Во первых, максимально симметричному состоянию соответствует максимальное кол-во решений ур-ния Шредингера. Если есть симметрия, то из одного решения ур-ния можно получить другое решение воздействуя на него оператором симметрии. Чем выше порядок симметрии, тем больше у симметрии операторов и тем больше решений можно получить. Соответственно у низкой симметрии меньше решений, чем у более высокой симметрии.

Во вторых, квадрат волновой функции определяет вероятность, что система окажется в состоянии определяемой этой функцией.

В третьих, если квантовая система может находиться в $m + n$ "микросостояниях" $ψ_{m}$ , $ψ_{n}$ соответствующим различимым "макросостояниям" $Ψ_{m}$ , $Ψ_{n}$ , и если $n ≫ m$ , то квантовая система стремиться перейти в "макросостояние" $Ψ_{n}$ . (это из-за того, что волновая функция определяет вероятность состояний и какое-то обобщенное понятие статсуммы.)

Соответственно так как у более симметричного состояния "микросостояний" больше, то система стремиться к наиболее симметричному состоянию.

Энтропия фон Неймана равна

$S = - t r (ρ l n (ρ))$

Так как "микросостояниях" $ψ_{n}$ много больше $ψ_{m}$ , то для энтропии состояния $Ψ_{n}$ энтропия суммируется по большему числу состояний и, при прочих равных, много больше энтропии состояния $Ψ_{m}$ . Соответственно у симметричного состояния выше энтропия. (Может энтропия и растет вместе с рангом матрици плотности, но надо изучать свойства матрици плотность. Просто больше членов суммы еще ничего не доказывает.)

К сожалению, аргументация довольно грубая, но пока более лучшую выдвинуть не получилось.

Порядок и хаос

Принцип максимальной симметрии можно назвать источником порядка. Симметричное состояние нами воспринимается как более упорядоченное. Например, кристаллы. Но этим симметричным состояниям соответствует более высокая энтропия. Максимально возможная симметрия - это когда вероятность найти частицу равномерно размазанна по пространству (симметрия сдвига порядка $\infty^{3}$ ). Но эта симметрия нами воспринимается как полный хаос. Найти носок, когда вероятность его найти размазанна по всей комнате, сложно :-).

Фундаментальные взаимодействия

Электромагнитное, слабое и сильное взаимодействие описывается группой калибровочной симметрии $S U (3) \times S U (2) \times U (1)$ . На мой взгляд, недостатком этой теории является, то, что можно выдвинуть калибровочные взаимодействися с группой $S U (4)$ , $S U (5)$ и т.д. Совершенно не понятно почему природа остановилась на $S U (3)$ .

Пространственные группы безконечного порядка порождают бесконечное число решений ур-ния (2). При условиях, что этропия применима к условно одиночным(нескольким) частицам, и что пространственные группы безконечного порядка порождают энтропию "макросостояний" частиц, и что энтропия в этом случае приводит к большим силам действующим на частицы, фундаментальные силы могут оказаться следствием пространственных симметрий бесконечного порядка, число которых огранниченно.

Для 1 частицы симметрии бесконечного порядка - это сдвиги в 3-мерном пространстве и врашения.

Для 2 частиц доступны симметрии меньшего порядка. Если частицы фермионы, то положение второй частицы выколото из пространства доступных коодинат для первой. Доступные симметрии - это сдвиг центра масс и 2 центральные симметрии вращения каждой частицы вокруг центра масс.

Для 3 частиц - сдвиг центра масс и 3 осевые симметрии вращения каждой частицы вокруг противоположной стороны треугольника.

А 4 частицы расположенные не в 1 плоскости эже определяют базис 3-мерного простраства. Для них доступен сдвиг центра масс и вращения вокруг него целой фигуры.

К сожалению не спец в симметриях. Вообщем от 1 до 4 частиц происходит падение порядка доступной симметрии. Не учитывая сдвиг центра масс и вращения как целого, для 2 частиц 2 центральных вращения, для 3 - 3 осевых вращений, для 4 частиц( не в одной плоскости) бесконечных симметрий уже нет.

Применимость энтропии

Одиночных существующих самих по себе частиц нет. Чистое соостояние квантовой частицы это некоторая абстракция. Любая квантовая частица постоянно взаимодействует с другими частицами и макроскопическими телами.

Для описания измерения квантовой частицы (иногда) используется выражения вида:

$Ψ = ψ Ψ_{D}$

где $ψ$ волновая функция частицы, а $Ψ_{D}$ волновая функция детектора.

Детектор это макроскопическое тело, подчиняющееся законам термодинамики и которое можно рассмотреть как статистический ансамбль микроскопических состояний. Так как частица взаимодействует с детектором, то систему частица плюс детектор можно также рассматривать как статистический ансамбль. Наверно стоит рассматривать

$Ψ_{n} = ψ_{n} Ψ_{D n}$

Микросостояние частицы плюс детектор. $Ψ_{D n}$ микросостояние детектора. Причем число миросостояний детектора соответствующим измерению частицы $N$ и число микросостояний соответствующим к не измерению частицы $M$ макроскопически большие. (Детектор мерящий, например спин частицы, уже состаной детектор из детекторов поймал-не поймал.) Гипотетически для хорошего детектора $N ≫ M$ и за счет этого детектор и может измерить частицу.

Наши квантовые детекторы только часть природных процессов приспособленных нами под квантовые измерения. Несомненно процессы соответствующие измерению состояния квантовой частицы идут повсюду. И систему из частицы и окружающей ее среды также можно рассматривать как статистический ансамбль микросостояний. Под "микросостоянием" частицы я подразумеваю микросостояние частицы и среды.

Эти рассуждения еще не доказывают применимость энтропии к отдельным квантовым частицам, но на мой взгляд делают это возможным.

Энтропийные силы

То что одно состояние имеет большую энтропию (вероятность) чем другое обычно еще не вызывает моментальный переход в него. В классических статистических системах переход в более статистически вероятное состояние может происходить с разной скоростью. Или даже система может завистнуть в состотоянии локального минимума энергии.

Если фундаментальные силы возникают из энтропии, то возникает вопрос почему энтропия влияет настолько быстро. Возможно, квантовые частицы сильно чем-то трясет. Например, чтобы сахар быстрее растворился в чае, чай перемешивают ложкой. ~~А квантовые частицы могут трясти природные измерения.~~ Возможно, просто в классических системах локальные минимумы энергии сильно задерживают рост энтропия.

Косяк в рассуждениях

Точная симметрия ВФ уменьшает энтропию системы, так как принято считать, что симметричные ВФ - это одни и те же состояния системы и в энтропию системы должны включаться один раз. Например, для тождественных частиц из w:Статистическая_сумма:

Из этого правила, однако, есть одно известное исключение. Если подсистемы — это тождественные частицы, то есть, исходя из принципов квантовой механики, их невозможно различить даже в принципе, общая статистическая сумма должна быть разделена на $N!$ :
$Z = \frac{ζ^{N}}{N!}$ . Это делается, чтобы не учитывать одно и то же микросостояние несколько раз.

Наверно, нужно рассматривать симметрию таких макропараметров как концентрация частиц или температура.