Функции комплексного переменного

Пусть $f(z)$ определена в $U(z)$

Определение. Если $\exists \lim \limits _{h\to 0}{\frac {f(z+h)-f(z)}{h}}$, то этот предел называется производной функции в $f(z)$ в точке $z$ и будет обозначаться $f'(z)$

Определение. Функция $f(z)$ называется дифференциремой в точке $z$, если $\exists f'(z)$ в точке $z$.

Определение. Функция $f(z)$ называется дифференцируемой в точке $z$, если её приращение в этой точке можно представить в виде $\Delta f(z)=w(z)\Delta z+\alpha (\Delta z)\Delta z$, где $\alpha (\Delta z)$ - бесконечно малая при $\Delta z\to 0$.

Утверждение. Эти два определения эквивалентны. Доказательство аналогично действительному случаю для функции одной переменной. Кроме того $w(z)=f'(z)$.

Теорема. Если функции $f(z)$ и $g(z)$ дифференцируемы в точке $x$, то:

1. функция $(f(z)+g(z))$ дифференцируема в точке $z$ и $(f(z)+g(z))'=f'(z)+g'(z)$
2. функция $(f(z)g(z))'$ дифференцируема в точке $z$ и $(f(z)g(z))'=f'(z)g(z)+g'(z)f(z)$
3. если кроме того $g(z)\not =0$, то $({\frac {f(z)}{g(z)}})$ - дифференцируема в точке $z$ и $({\frac {f(z)}{g(z)}})'={\frac {f'(z)g(z)-g'(z)f(z)}{g^{2}(z)}}$.

Теорема. Пусть сложная функция $f(g(z))$ определена в некоторой окрестности точки $z_{0}$ ($U(z_{0})$). Пусть функция $g(z)$ дифференцируема в точке $x_{0}$ и $g(z_{0})=w_{0}$. Пусть функция $f(w)$ дифференцируема в точке $w_{0}$, тогда сложная функция $y(z)=f(g(z))$ дифференцируема в точке $z_{0}$ и справедливо равенство: $y'(x_{0})=f'(w_{0})g'(z_{0})$.

Теорема. Пусть функция $f(z)$ отображает взаимно однозначно окрестность точки $z_{0}$ $U(z_{0})$ на некоторую окрестность точки $w_{0}=f(z_{0})$. Пусть функция $f(z)$ дифференцируема в точке $z_{0},f'(z_{0})\not =0$ и обратная к $f(z)$ функция $z=\phi (w)$ непрерывна в точке $w_{0}$. Тогда функция $\phi (w)$ дифференцируема в точке $w_{0}$ и её производная вычисляется как $\phi '(w_{0})={\frac {1}{f'(z_{0})}}$

Доказательства этих теорем аналогичны действительному случаю для функции одной переменной.

Геометрический смысл

Пусть $f(z)$ дифференцируема в некоторой окрестности $U_{\varepsilon }(z_{0})$ и $f(z_{0})\not =0$. Тогда область $U_{\varepsilon }(z_{0})$ отображается на некоторую область $D$ на плоскости $W$. Рассмотрим $\forall (z_{0}+\Delta z)\in U_{\varepsilon }(z_{0})\Rightarrow$ приращение $\Delta z$ соответствует приращению $\Delta w$ функции $f(z)$. Так как $f(z)$ дифференцируема в точке $z_{0}$, то $\Delta w=f'(z_{0})\Delta z+\alpha (\Delta z)\Delta z,\alpha (\Delta z)\to 0$ при $\Delta z\to 0\Rightarrow$ слагаемое $\alpha (\Delta z)\Delta z$ - бесконечно малое более высокого порядка чем $\Delta z$. Если $f'(z_{0})\not =0\Rightarrow \Delta w\approx f'(z_{0})\Delta z,|\Delta w|\approx |f'(z_{0})||\Delta z|,Arg\Delta w\approx Argf'(z_{0})+Arg\Delta z(*)\Rightarrow {\frac {|\Delta w|}{|\Delta z|}}\approx |f'(z_{0})|$ то есть модуль производной $|f'(z_{0})|$ есть коэффициент растяжения при отображении $f(z)$. Если $|f'(z_{0})|>1\Rightarrow$ - растяжение, $|f'(z_{0})|>1\Rightarrow$ - сжатие. Величина $Argf'(z_{0})$ есть угол поворота при отображении $f(z)$. Если рассматривать произвольную гладку кривую $\alpha (t)$ проходящую через точку $z_{0}$, то $Argf'(z_{0})$ есть угол, на который нужно повернуть касательную к кривой $\alpha (t)$ в точке $z_{)}$, чтобы получить направление каcательной к образу $f(\alpha (t))$ этой кривой в точке $w_{0}=f(z_{0})$

Теорема. Функция $f(z)=U(x,y)+iV(x,y)$ дифференцируема в точке $z_{0}=x_{0}+iy_{0}\Leftrightarrow$ функции $U(x,y)$ и $V(x,y)$ дифференцируемы в точке $(x_{0},y_{0})$ и в этой точке выполняются условия Коши-Римана:

${\frac {\partial U}{\partial x}}={\frac {\partial V}{\partial y}},{\frac {\partial U}{\partial y}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}$

Доказательство. $(\Rightarrow )$ $f(z)$ дифференцируема в точке $z_{0}\Rightarrow \Delta F(z)=f'(z_{0})\Delta z+\alpha (\Delta z)\Delta z$, где $\alpha (\Delta z)$ - бесконечно малая при $\Delta z\to 0;\Delta f(z)=\Delta U+i\Delta V$, обозначим $f'(z_{0})=a+ib,\Delta z=\Delta x+i\Delta y$

$\Rightarrow \Delta U+i\Delta V=(a+ib)(\Delta x+i\Delta y)+[Re\alpha (\Delta z)+iIm\alpha (\Delta z)][\Delta x+i\Delta y]=(a\Delta x-b\Delta y)+i(a\Delta y+b\Delta x)+[Re\alpha (\Delta z)\Delta x-Im\alpha (\Delta z)\Delta y]+i[Re\alpha (\Delta z)\Delta y-Im\alpha (\Delta z)\Delta x]\Rightarrow$

$\Delta U=a\Delta x-b\Delta y+[Re\alpha (\Delta z)\Delta x-Im\alpha (\Delta z)\Delta y].$

$\Delta V=a\Delta x+b\Delta y+[Re\alpha (\Delta z)\Delta x+Im\alpha (\Delta z)\Delta y].$

$\lim \limits _{\Delta z\to 0}\alpha (\Delta z)=0\Rightarrow \lim \limits _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}Re\alpha (\Delta z)=0,\lim \limits _{\Delta x\to 0,\Delta y\to 0}Im\alpha (\Delta z)=0$.

Обозначим $\rho ={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\Rightarrow Re\alpha (\Delta z)\Delta x-Im\alpha (\Delta y)\Delta y={\bar {\bar {o}}}(\rho )\Rightarrow Re\alpha (\Delta z)\Delta x+Im\alpha (\Delta y)\Delta y={\bar {\bar {o}}}(\rho )$

Устремим $\rho \to 0\Rightarrow \Delta U=a\Delta x-b\Delta y+{\bar {\bar {o}}}(\rho )\Rightarrow$ функции $U(x,y),V(x,y)$ дифференцируемы в точке $(x_{0},y_{0})$, причем ${\frac {\partial \!U}{\partial \!x}}(x_{0},y_{0})=a,{\frac {\partial \!U}{\partial \!y}}(x_{0},y_{0})=-b,{\frac {\partial \!V}{\partial \!x}}(x_{0},y_{0})=b,{\frac {\partial \!V}{\partial \!y}}(x_{0},y_{0})=a\Rightarrow$ выполненяется условие Коши-Римана.

$(\Leftarrow )$ Функции $U(x,y)$ и $V(x,y)$ дифференцируемы в точке $(x_{0},y_{0})$.

Обозначим $\rho ={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}\Rightarrow \Delta U={\frac {\partial \!U}{\partial \!x}}(x_{0},y_{0})\Delta x+{\frac {\partial \!U}{\partial \!y}}(x_{0},y_{0})\Delta y+{\bar {\bar {o}}}(\rho ),\rho \to 0,\Delta V={\frac {\partial \!V}{\partial \!x}}(x_{0},y_{0})\Delta x+{\frac {\partial \!V}{\partial \!y}}(x_{0},y_{0})\Delta y+{\bar {\bar {o}}}(\rho ),\rho \to 0$.

Обозначим ${\frac {\partial \!U}{\partial \!x}}(x_{0},y_{0})=a,{\frac {\partial \!U}{\partial \!y}}(x_{0},y_{0})=-b$. Тогда из условия Коши-Римана $\Rightarrow {\frac {\partial \!V}{\partial \!x}}(x_{0},y_{0})=a,{\frac {\partial \!V}{\partial \!y}}(x_{0},y_{0})=b$.

$\Delta f(z)=\Delta U_{i}\Delta V=(a\Delta x-b\Delta y)+i(a\Delta y+b\Delta x)+{\bar {\bar {o}}}(\rho )+i{\bar {\bar {\rho }}}=(a+ib)(\Delta x+i\Delta y)+{\bar {\bar {o}}}(\rho )+i{\bar {\bar {o}}}(\rho )=(a_{i}b)\Delta z+{\bar {\bar {o}}}(\rho )+i{\bar {\bar {o}}}(\rho )\Rightarrow {\frac {\Delta f(z)}{\Delta z}}=(a+ib)+{\frac {{\bar {\bar {o}}}(\rho )}{\Delta z}}+{\frac {i{\bar {\bar {o}}}(\rho )}{\Delta z}}$. Заметим, что $\rho ={\sqrt {(\Delta x)^{2}+(\Delta y)^{2}}}=|\Delta z|,\lim \limits _{\Delta z\to 0}{\frac {{\bar {\bar {o}}}(\rho )}{\Delta z}}=\lim \limits _{|\Delta z|\to 0}{\frac {{\bar {\bar {o}}}(|\Delta z|)}{|\Delta z|}}{\frac {|\Delta z|}{\Delta z}}=0$

$\Rightarrow \exists \lim \limits _{\Delta z\to 0}{\frac {\Delta f(z)}{\Delta z}}=a+ib\Rightarrow \exists f'(z_{0}).f(z)$ дифференцируема в точке $z_{0}$.

Определение. Функция $f(z)$ называется аналитичной в точке $z_{0}$, если она дифференцируема в некоторой окрестности точки $z_{0}$. ( $f(z)$ определена на $D$ и $z_{0}\in D$ )

Определение. Функция аналитична в области $D$, если она аналитична в каждой точке области $D$.

Замечание. Если функция аналитична в точке, то она дифференцируема в этой точке (следует из определения). Обратное не верно: функция, дифференцируемая в точке может быть не аналитичной в этой точке.