Функции комплексного переменного

Пусть $f(z)$ определена в $U(z)$

Определение. Если $\mathrm{\exists }\underset{h\to 0}{lim}\frac{f(z+h)-f(z)}{h}$, то этот предел называется производной функции в $f(z)$ в точке $z$ и будет обозначаться $f^{\prime }(z)$

Определение. Функция $f(z)$ называется дифференциремой в точке $z$, если $\mathrm{\exists }{f}^{\prime }(z)$ в точке $z$.

Определение. Функция $f(z)$ называется дифференцируемой в точке $z$, если её приращение в этой точке можно представить в виде $\mathrm{\Delta }f(z)=w(z)\mathrm{\Delta }z+\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }z$, где $\alpha (\mathrm{\Delta }z)$ - бесконечно малая при $\mathrm{\Delta }z\to 0$.

Утверждение. Эти два определения эквивалентны. Доказательство аналогично действительному случаю для функции одной переменной. Кроме того $w(z)=f^{\prime }(z)$.

Теорема. Если функции $f(z)$ и $g(z)$ дифференцируемы в точке $x$, то:

1. функция $(f(z)+g(z))$ дифференцируема в точке $z$ и $(f(z)+g(z){)}^{\prime }=f^{\prime }(z)+g^{\prime }(z)$
2. функция $(f(z)g(z){)}^{\prime }$ дифференцируема в точке $z$ и $(f(z)g(z){)}^{\prime }=f^{\prime }(z)g(z)+g^{\prime }(z)f(z)$
3. если кроме того $g(z)≠0$, то $(\frac{f(z)}{g(z)})$ - дифференцируема в точке $z$ и $(\frac{f(z)}{g(z)}{)}^{\prime }=\frac{f^{\prime }(z)g(z)-g^{\prime }(z)f(z)}{g^2(z)}$.

Теорема. Пусть сложная функция $f(g(z))$ определена в некоторой окрестности точки $z_0$ ($U(z_0)$). Пусть функция $g(z)$ дифференцируема в точке $x_0$ и $g(z_0)=w_0$. Пусть функция $f(w)$ дифференцируема в точке $w_0$, тогда сложная функция $y(z)=f(g(z))$ дифференцируема в точке $z_0$ и справедливо равенство: $y^{\prime }(x_0)=f^{\prime }(w_0)g^{\prime }(z_0)$.

Теорема. Пусть функция $f(z)$ отображает взаимно однозначно окрестность точки $z_0$ $U(z_0)$ на некоторую окрестность точки $w_0=f(z_0)$. Пусть функция $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0,f^{\prime }(z_0)≠0$ и обратная к $f(z)$ функция $z=\varphi (w)$ непрерывна в точке $w_0$. Тогда функция $\varphi (w)$ дифференцируема в точке $w_0$ и её производная вычисляется как ${\varphi }^{\prime }(w_0)=\frac{1}{f^{\prime }(z_0)}$

Доказательства этих теорем аналогичны действительному случаю для функции одной переменной.

Геометрический смысл

Пусть $f(z)$ дифференцируема в некоторой окрестности $U_{\epsilon }(z_0)$ и $f(z_0)≠0$. Тогда область $U_{\epsilon }(z_0)$ отображается на некоторую область $D$ на плоскости $W$. Рассмотрим $\mathrm{\forall }(z_0+\mathrm{\Delta }z)\in U_{\epsilon }(z_0)\Rightarrow$ приращение $\mathrm{\Delta }z$ соответствует приращению $\mathrm{\Delta }w$ функции $f(z)$. Так как $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0$, то $\mathrm{\Delta }w=f^{\prime }(z_0)\mathrm{\Delta }z+\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }z,\alpha (\mathrm{\Delta }z)\to 0$ при $\mathrm{\Delta }z\to 0\Rightarrow$ слагаемое $\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }z$ - бесконечно малое более высокого порядка чем $\mathrm{\Delta }z$. Если $f^{\prime }(z_0)≠0\Rightarrow \mathrm{\Delta }w\approx f^{\prime }(z_0)\mathrm{\Delta }z,|\mathrm{\Delta }w|\approx |f^{\prime }(z_0)||\mathrm{\Delta }z|,Arg\mathrm{\Delta }w\approx Arg{f}^{\prime }(z_0)+Arg\mathrm{\Delta }z(\ast )\Rightarrow \frac{|\mathrm{\Delta }w|}{|\mathrm{\Delta }z|}\approx |f^{\prime }(z_0)|$ то есть модуль производной $|f^{\prime }(z_0)|$ есть коэффициент растяжения при отображении $f(z)$. Если $|f^{\prime }(z_0)|>1\Rightarrow$ - растяжение, $|f^{\prime }(z_0)|>1\Rightarrow$ - сжатие. Величина $Arg{f}^{\prime }(z_0)$ есть угол поворота при отображении $f(z)$. Если рассматривать произвольную гладку кривую $\alpha (t)$ проходящую через точку $z_0$, то $Arg{f}^{\prime }(z_0)$ есть угол, на который нужно повернуть касательную к кривой $\alpha (t)$ в точке $z_{)}$, чтобы получить направление каcательной к образу $f(\alpha (t))$ этой кривой в точке $w_0=f(z_0)$

Теорема. Функция $f(z)=U(x,y)+iV(x,y)$ дифференцируема в точке $z_0=x_0+i{y}_0\iff$ функции $U(x,y)$ и $V(x,y)$ дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)$ и в этой точке выполняются условия Коши-Римана:

$\frac{\partial U}{\partial x}=\frac{\partial V}{\partial y},\frac{\partial U}{\partial y}=-\frac{\partial V}{\partial x}$

Доказательство. $(\Rightarrow )$ $f(z)$ дифференцируема в точке $z_0\Rightarrow \mathrm{\Delta }F(z)=f^{\prime }(z_0)\mathrm{\Delta }z+\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }z$, где $\alpha (\mathrm{\Delta }z)$ - бесконечно малая при $\mathrm{\Delta }z\to 0;\mathrm{\Delta }f(z)=\mathrm{\Delta }U+i\mathrm{\Delta }V$, обозначим $f^{\prime }(z_0)=a+ib,\mathrm{\Delta }z=\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y$

$\Rightarrow \mathrm{\Delta }U+i\mathrm{\Delta }V=(a+ib)(\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y)+[Re\alpha (\mathrm{\Delta }z)+iIm\alpha (\mathrm{\Delta }z)][\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y]=(a\mathrm{\Delta }x-b\mathrm{\Delta }y)+i(a\mathrm{\Delta }y+b\mathrm{\Delta }x)+[Re\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }x-Im\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }y]+i[Re\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }y-Im\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }x]\Rightarrow$

$\mathrm{\Delta }U=a\mathrm{\Delta }x-b\mathrm{\Delta }y+[Re\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }x-Im\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }y].$

$\mathrm{\Delta }V=a\mathrm{\Delta }x+b\mathrm{\Delta }y+[Re\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }x+Im\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }y].$

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\alpha (\mathrm{\Delta }z)=0\Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0,\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}Re\alpha (\mathrm{\Delta }z)=0,\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0,\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}Im\alpha (\mathrm{\Delta }z)=0$.

Обозначим $\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}\Rightarrow Re\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }x-Im\alpha (\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }y=\overline{\overline{o}}(\rho )\Rightarrow Re\alpha (\mathrm{\Delta }z)\mathrm{\Delta }x+Im\alpha (\mathrm{\Delta }y)\mathrm{\Delta }y=\overline{\overline{o}}(\rho )$

Устремим $\rho \to 0\Rightarrow \mathrm{\Delta }U=a\mathrm{\Delta }x-b\mathrm{\Delta }y+\overline{\overline{o}}(\rho )\Rightarrow$ функции $U(x,y),V(x,y)$ дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)$, причем $\frac{\partial U}{\partial x}(x_0,y_0)=a,\frac{\partial U}{\partial y}(x_0,y_0)=-b,\frac{\partial V}{\partial x}(x_0,y_0)=b,\frac{\partial V}{\partial y}(x_0,y_0)=a\Rightarrow$ выполненяется условие Коши-Римана.

$(\Leftarrow )$ Функции $U(x,y)$ и $V(x,y)$ дифференцируемы в точке $(x_0,y_0)$.

Обозначим $\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}\Rightarrow \mathrm{\Delta }U=\frac{\partial U}{\partial x}(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial U}{\partial y}(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+\overline{\overline{o}}(\rho ),\rho \to 0,\mathrm{\Delta }V=\frac{\partial V}{\partial x}(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+\frac{\partial V}{\partial y}(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y+\overline{\overline{o}}(\rho ),\rho \to 0$.

Обозначим $\frac{\partial U}{\partial x}(x_0,y_0)=a,\frac{\partial U}{\partial y}(x_0,y_0)=-b$. Тогда из условия Коши-Римана $\Rightarrow \frac{\partial V}{\partial x}(x_0,y_0)=a,\frac{\partial V}{\partial y}(x_0,y_0)=b$.

$\mathrm{\Delta }f(z)=\mathrm{\Delta }{U}_i\mathrm{\Delta }V=(a\mathrm{\Delta }x-b\mathrm{\Delta }y)+i(a\mathrm{\Delta }y+b\mathrm{\Delta }x)+\overline{\overline{o}}(\rho )+i\overline{\overline{\rho }}=(a+ib)(\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y)+\overline{\overline{o}}(\rho )+i\overline{\overline{o}}(\rho )=(a_{i}b)\mathrm{\Delta }z+\overline{\overline{o}}(\rho )+i\overline{\overline{o}}(\rho )\Rightarrow \frac{\mathrm{\Delta }f(z)}{\mathrm{\Delta }z}=(a+ib)+\frac{\overline{\overline{o}}(\rho )}{\mathrm{\Delta }z}+\frac{i\overline{\overline{o}}(\rho )}{\mathrm{\Delta }z}$. Заметим, что $\rho =\sqrt{(\mathrm{\Delta }x{)}^2+(\mathrm{\Delta }y{)}^2}=|\mathrm{\Delta }z|,\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{\overline{\overline{o}}(\rho )}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{|\mathrm{\Delta }z|\to 0}{lim}\frac{\overline{\overline{o}}(|\mathrm{\Delta }z|)}{|\mathrm{\Delta }z|}\frac{|\mathrm{\Delta }z|}{\mathrm{\Delta }z}=0$

$\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }f(z)}{\mathrm{\Delta }z}=a+ib\Rightarrow \mathrm{\exists }{f}^{\prime }(z_0).f(z)$ дифференцируема в точке $z_0$.

Определение. Функция $f(z)$ называется аналитичной в точке $z_0$, если она дифференцируема в некоторой окрестности точки $z_0$. ( $f(z)$ определена на $D$ и $z_0\in D$ )

Определение. Функция аналитична в области $D$, если она аналитична в каждой точке области $D$.

Замечание. Если функция аналитична в точке, то она дифференцируема в этой точке (следует из определения). Обратное не верно: функция, дифференцируемая в точке может быть не аналитичной в этой точке.