Численные методы решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Найти функцию для удовлетворяющую уравнению

Задача Коши для ОДУ

Ищем интегральную кривую, проходящую через

Применяя формулу численного дифференцирования[править]

Формула Тейлора[править]

Пусть - найдено. Найдем :

Первая производная - это правая часть.

II-я:

III-я:

  • Формула Тейлора I-го порядка точности по (Метод Эйлера)
  • Формула Тейлора II-го порядка точности по :

Метод Эйлера[править]

Дискретизация задачи (переход от непрерывной функции к дискретной)

- точное решение. - приближенное. ,

- в ответе получаем вектор.

шаг обычно берут h = 0.1}

Геометрическая интерпретация.

Геометрическая интерпретация метода Эйлера

- уравнение касательной.

Погрешности:

Определение. Погрешность на шаге определяется по формуле , где - точное решение, а - приближенное.


Определение. Локальная погрешность: , если - точное.


Определение. Глобальная погрешность:


Определение. Будем называть метод -го порядка точности по , если , где - константа.


Модификации метода Эйлера[править]

. изменяя можно легко получить меньшую погрешность.

  • ) - усовершенствованный метод Эйлера.
(за угол наклона берется наклон касательной в средней точке).
  • Метод Эйлера-Коши:

. .

Методы Рунге-Кутты[править]

Метод Эйлера - это метод Рунге-Кутты I-го порядка точности. - угловой коэффициент секущей.

-этапный метод Рунге-Кутты

Метод Рунге-Кутты

Все коэффициенты ( и ) подлежат определению: коэффициенты также неизвестны.

Если хотим построить метод -го порядка точности по , . Возьмем разложение для точного решения. Правую часть раскладываем в . Коэффициенты и подбираем так, чтобы разложение совпало до -го порядка включительно. Построим параметрическое семейство двухэтапных методов Рунге-Кутты (2-го порядка точности по )

- разложение приблзительного решения.

В полученное разложение будем подставлять точное решение, будем считать

- параметр

Имеем:

При получаем метод Эйлера-Коши, - усовершенствованный метод Эйлера.

По построению: локальная погрешность этих методов для -го порядка точности

Каноническая форма записи методов численного интегрирования[править]

- явный одношаговый метод. - канонический вид формулы численного интегрирования. (неявный -шаговый метод)

Если правая часть этой формулы не содержит , тогда это явный -шаговый метод. Все методы Рунге-Кутты - явные, одношаговые.

- общая формула методов Р-К (каноническая формула явных одношаговых методов).

Определение. Аппроксимацией будем называть сеточную функцию , определенную так: \\


Определение. Будем говорить, что метод сходится с порядком , если величина


Погрешность аппроксимации метода Эйлера:

Устойчивость ЗК[править]

- возмущенная задача

Получим линейное неоднородное уравнение

и

Если первое слагаемое . Если

Оценка устойчивости ЗК

Из этого неравенства вытекает устойчивость ЗК.

Рассмотрим возмущенную дискретную ЗК:

- погрешности вычисления стартовых точек метода.

Определение. Будем называть метод (1) устойчивым, если:


Многошаговые методы. Методы Адамса[править]

Приближение правой части и интегрирование в многошаговых методах

. приближаем полиномом по известным значениям.

Метод Адамса

Формулы Адамса-Башфорта

Метод Адамса-Башфорта

- интерполяционный многочлен Ньютона. Интегрируемые функции : - формула А-Б (двухшаговый метод, II порядка точности по ) Формулы Адамаса-Мултона

Метод Адамса-Моултона

- II порядка точности, более устойчив.

Порядок аппроксимации в построенных методах[править]

- дискретная функция. Канонический вид:

II аппроксимационный порядок

Если функция - аналитична и раз дифференцируема, то - шаговый метод А-Б и шаговый метод А-М имеют -й порядок аппроксимации по .

Каноническая формула метода:

- дискретная ЗК. Стартовые точки

- дискретная ЗК с возмущенными данными. Стартовые точки

Определение. (Устойчивость -шагового метода)


Теорема. Если численный метод устойчив и имеет порядок аппроксимации , то он сходится с -м порядком точности по .
Доказательство. Подставим в численный метод точное решение :

- погрешность аппроксимации

Предположим: , где

Если , то


Уравнения высокого порядка и системы ДУ[править]

- нелинейная система ОДУ 1-го

метод Эйлера:

- замены

Устойчивость численных методов[править]

Чтобы облегчить задачу будем исследовать устойчивость по начальным данным (без правой части)

Определение. Метод устойчив по начальным данным, если

, где - решение при возмущенных входных данных . ,


Рассмотрим модельную задачу на нуль-устойчивость

- конечно-разностное уравнение. Стартовые точки

Затем мы находим

Возмущенная задача:

- проверим на устойчивость

, некоторое число. - некоторая первоначальная погрешность. Получим характеристическое уравнения - шагового метода:

- характеристический полном Уравнение имеет ровно корней (кратных и простых). Пусть - кратный корень кратности , остальные простые:

Общее решение уравнения:

Определение. Будем говорить, что выполнено корневое условие, если все корни полнинома устойчивости по модулю меньше 1, или на гранирце круга кратных корней нет


Теорема. Если выполнено корневое условие, то метод является устойчивым (называется -устойчивым)
Доказательство. из : при

, но корень не кратен. - погрешность не растет.


Утверждение. Все методы Рунге-Кутты и методы Адамаса являются нуль устойчивыми методами.


Р-К:

А:

Наличие -устойчивости означает, что метод устойчив на конечном отрезке . Если следует применять абсолютно устойчивые методы.

Модельная задача:

Ассимптотическая устойчивость

Для невозмущенной задачи: - стартовые точки

. Ищем (зависят от )

Для явного метода Эйлера:

Метод называется устойчивым при ограничении на шаг

Для неявного:

- верно т.к.

Ограничений на нет. Область устойчивости:

Определение. Метод называется абсолютно устойчивым при конкретном значении если все его корни полинома устойчивости лежат внутри единичного круга, а на границе нет кратных корней. Множество точек комплексной плоскости в которых выполнено корневое условие называется областью абсолютной устойчивости метода.


Определение. Численный метод называется -устойчивым, если область абсолютой устойчивости включает в себя полу плоскость


Неявный метод Эйлера -устойчив

Понятие о жестких задачах[править]

- число жесткости системы

- система жесткая. Для таких задач надо применять -жесткие методы.