Экстремумы функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Определение. Пусть функция $f(x_1\dots x_n)$ определена на множестве $E\in {ℝ}^n$ и точка $x^o\in E$. Точка $x^o$ называется точкой локального минимума (максимума) функции $f(x_1\dots x_n)$ если $\mathrm{\exists }U(x^o):\mathrm{\forall }x\in U(x^o)\cap E:f(x)\ge f(x^o)(f(x)\le f(x^o)))$. Точки локального минимума (максимума) называются точками локального экстремума.

Теорема (необходимое условие экстремума).  Пусть функция $f(x_1\dots x_n)$ определена в $U(x^o)$ и имеет локальный экстремум в точке $x^o$. Если $\mathrm{\exists }\frac{\partial f}{\partial x_k}(x^o),1\le k\le n$,

то $\frac{\partial f}{\partial x_k}(x^o)=0\mathrm{\forall }k=1\dots n$.

Доказательство. Докажем это для случая $k=1:\mathrm{\exists }\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^o)$. Рассмотрим функцию $f(x_1,x_2^o\dots x_n^o)$ - функцию одной переменной $x_1$. Так как функция $f(x_1\dots x_n)$ имеет локальный экстремум в точке $x^o=(x_1^o\dots x_n^o)$, то функция одной переменной также имеет локальный экстремум в точке $x_1^o$.

Так как $\mathrm{\exists }\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^o)$, то эта производная является обычной производной функции одной переменной $f(x_1^o,x_2^o\dots x_n^o)$ в точке $x_1^o$. Тогда используя необходимое условие локального экстремума для функции одной перменной получаем $\frac{\partial f}{\partial x_1}(x^o)=0$. Аналогично: Если $\mathrm{\exists }\frac{\partial f}{\partial x_k}(x^o),2\le k\le n$ получаем $\frac{\partial f}{\partial x_k}(x^o)=0$.

Следствие. Если функция $f(x_1\dots x_n)$ определена в $U(x^o)$ и имеет в точке $x^o$ локальный экстремум и дифференцируема в точке $x^o$, то $df(x^o)=0$

Теорема (достаточное условие локального экстремума).  Пусть функция $f(x_1\dots x_n)$ определена в $U_{\sigma }(x^o)$ и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка. Пусть $df(x^o)=0$. Если $d^{2}f(x^o)$ является знакоопределенной квадратичной формой, тогда $x^o$ - точка локального экстремума, причем если $d^{2}f(x^o)>0\Rightarrow x^0$ - локальный минимум, а если $d^{2}f(x^o)<0\Rightarrow x^o$ - локальный максимум.

Доказательство. Рассмотрим $\mathrm{\forall }(x_1^o+\Delta x_1\dots x_n^o+\Delta x_n)\in U_{\sigma }(x^o)$. Так как функция $f$ имеет непрерывные частные производные до второго порядка в $U_{\sigma }(x^o)$, то функцию $f$ можно разложить по формуле Тейлора в точке $x^o$ до первого порядка

$f(x_1^o+\Delta x_1\dots x_n^o+\Delta x_n)-f(x^o)=\frac{df(x^o)}{1!}+\frac{d^{2}f(x^o+\theta \Delta x)}{2!}$, где $x^o+\theta \Delta x=(x_1^o+{\theta }_1\Delta x_1\dots x_n^o+{\theta }_n\Delta x_n),|{\theta }_i|<1,i=1\dots n$ $\Rightarrow \Delta f(x^o)=\frac{1}{2}{d}^{2}f(x^o+\theta \Delta x)=\frac{1}{2}\sum _{i,j}^n(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x^o+\theta \Delta x)\Delta x_i\Delta x_j)$.

Так как $\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}$ - непрерывна в $U_{\sigma }(x^o)\Rightarrow$ непрерывна в точке $x^o\Rightarrow (k=1\dots n)\mathrm{\exists }\underset{\Delta x_k\to 0}{lim}\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x^o+\theta \Delta x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x^o),i,j=1\dots n\Rightarrow \frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x^o+\theta \Delta x)=\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x^o)+{\alpha }_{i,j}(\Delta x)$, где ${\alpha }_{i,j}(\Delta x)$ - бесконечно малая функция при $\Delta x\to 0,i,j,k=1\dots n\Rightarrow \Delta f(x^o)=\frac{1}{2}\sum _{i,j}^n(\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x^o)\Delta x_i\Delta x_j+\sum _{i,j}^n{\alpha }_{i,j}(\Delta x)\Delta x_i\Delta x_j)$

Обозначим $\rho =\sqrt{\Delta x_1^2+\dots +\Delta x_n^2},{\xi }_k=\frac{\Delta x_k}{\rho },k=1\dots n,$

$\sum _{i,j}^n\frac{{\partial }^{2}f}{\partial x_i\partial x_j}(x^o){\xi }_i{\xi }_j=A(\xi ),\sum _{i,j}^n{\alpha }_{i,j}(\Delta x){\xi }_i{\xi }_j=\alpha (\Delta x)\Rightarrow \Delta f(x^o)=\frac{{\rho }^2}{2}(A(\xi )+\alpha (\Delta x))$

$|\alpha (\Delta x)|\le \sum _{i,j}^n|{\alpha }_{i,j}(\Delta x)|\to [\Delta x_k\to 0]k=1\dots n0\Rightarrow \alpha (\Delta x)$ - бесконечно малая функция при $\Delta x_k\to 0,k=1\dots n$.

Пусть $d^{2}f(x^0)>0\Rightarrow A(\xi )>0,\mathrm{\forall }\xi =({\xi }_1\dots {\xi }_n)$, где ${\xi }_k=\frac{\Delta x_k}{\rho },k=1\dots n$.

Получаем: ${\xi }_1^2+\dots +{\xi }_n^2=\frac{\Delta x_1^2}{{\rho }^2}+\dots +\frac{\Delta x_n^2}{{\rho }^2}=1\Rightarrow \xi$ лежит на $S$ - сфере единичного радиуса с центром в начале координат. $S$ - компакт. $A(\xi )$ - непрерывна на компакте $S\Rightarrow$ она достигает на нём своей точной нижней грани $\mu$.

${\xi }^{\ast }\in S\Rightarrow |{\xi }^{\ast }|≠0$. В случае если A - положительно определённая квадратичная форма, имеем: $\mu >0$

Так как $\alpha (\Delta x)$ - бесконечно малая при $\Delta x_k\to 0,k=1\dots n\Rightarrow$ для $\epsilon =\frac{\mu }{2}>0:\mathrm{\exists }{\delta }_1,\mathrm{\forall }\Delta x_k:\sqrt{\Delta x_1^2+\dots +\Delta x_n^2}<{\delta }_1\Rightarrow |\alpha (\Delta x)|<\frac{\mu }{2}\Rightarrow$ в $U_{{\delta }_1}(x^o):\Delta f(x^o)=\frac{{\rho }^2}{2}(A(\xi )+\alpha (\Delta x))\ge \frac{{\rho }^2}{2}(A(\xi )+|\alpha (\Delta x))|\ge \frac{{\rho }^2}{2}(\mu -\frac{\mu }{2})=\frac{{\rho }^2}{4}\mu >0\Rightarrow \Delta f(x^o)>0\Rightarrow x^o$ точка локального минимума. Аналогично доказывается что если $d^{2}f(x^o)<0$, то $x^o$ - точка локального максимума. Доказательство в случае, если $A$ - отрицательно определённая квадратичная форма, можно провести аналогично.

Рассмотрим отдельно третий возможный случай, когда $A$ - знакопеременная квадратичная форма. В рассматриваемом ограничении окрестности точки $x^0$ на единичную сферу, квадратичная форма A имеет точную нижнюю грань $\mu$ и точную верхнюю грань $M$, такие, что $\mu <0<M$. Взяв соотвествующие точки ${\xi }_{\mu },{\xi }_M$, такие что $\mu =A({\xi }_{\mu }),M=A({\xi }_M)$, получим: $\Delta f(x^o)=\frac{{\rho }^2}{2}(A({\xi }_{\mu })+\alpha (\Delta x))=\frac{{\rho }^2}{2}(\mu +\alpha (\Delta x))$, и в то же время: $\Delta f(x^o)=\frac{{\rho }^2}{2}(A({\xi }_M)+\alpha (\Delta x))=\frac{{\rho }^2}{2}(M+\alpha (\Delta x))$. Отсюда видно что правая часть уравнений меняет знак, значит в точке $x^0$ экстремума нет.