Экстремумы функции многих переменных. Необходимые и достаточные условия экстремума

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску
Определение. Пусть функция определена на множестве и точка . Точка называется точкой локального минимума (максимума) функции если . Точки локального минимума (максимума) называются точками локального экстремума.


Теорема (необходимое условие экстремума).  Пусть функция определена в и имеет локальный экстремум в точке . Если ,

то .

Доказательство. Докажем это для случая . Рассмотрим функцию - функцию одной переменной . Так как функция имеет локальный экстремум в точке , то функция одной переменной также имеет локальный экстремум в точке .

Так как , то эта производная является обычной производной функции одной переменной в точке . Тогда используя необходимое условие локального экстремума для функции одной перменной получаем . Аналогично: Если получаем .


Следствие. Если функция определена в и имеет в точке локальный экстремум и дифференцируема в точке , то


Теорема (достаточное условие локального экстремума).  Пусть функция определена в и имеет в этой окрестности непрерывные частные производные второго порядка. Пусть . Если является знакоопределенной квадратичной формой, тогда - точка локального экстремума, причем если - локальный минимум, а если - локальный максимум.
Доказательство. Рассмотрим . Так как функция имеет непрерывные частные производные до второго порядка в , то функцию можно разложить по формуле Тейлора в точке до первого порядка

, где .

Так как - непрерывна в непрерывна в точке , где - бесконечно малая функция при

Обозначим

- бесконечно малая функция при .

Пусть , где .

Получаем: лежит на - сфере единичного радиуса с центром в начале координат. - компакт. - непрерывна на компакте она достигает на нём своей точной нижней грани:

 ;

Так как - бесконечно малая при для в точка локального минимума. Аналогично доказывается что если , то - точка локального максимума.