Комплексный анализ I/Билеты/Больше про интеграл

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема. (о существовании первообразной в односвязной области) односвязная область'', ''. Тогда первообразная , где интегал по любой спрямляемой кривой из с началом в и концом в .

Доказательство. Интеграл не зависит от выбора кривой из в силу теоремы Коши. Проверим, что первообразная :

, следовательно,

при

Значит, .

Задача. По существу ли здесь односвязность? Привести пример неодносвязной области и функции таких, что эта функция голоморфна в этой области, но не имеет в ней первообразной.

Определение. Замыкание.

Теорема. (общая интегральная теорема Коши, без доказательства) односвязная область, замкнутая спрямляемая кривая, . Тогда .

Теорема. (Коши для составного контура): '',где жордановы замкнутые кривые, , . Тогда

Доказательство.

Доказательство интегральной теоремы Коши для составного контура.png

Соединим перемычками ,чтобы перемычки не пересекались и получилась односвязная область . ломаная,соединяющая точку на с точкой на и , вся, кроме концов, лежит в . Значит, по предыдущей теореме интегралы по перемычкам, проходимым и в том, и другом направлении (и, соответственно, сокращающиеся).

Теорема. (интегральная формула Коши) составной жорданов спрямляемый контур, Тогда .

Доказательство. Возьмём фиксированное и кривую :

(по предыдущей теореме, так как

Isbur (обсуждение) 00:39, 26 марта 2019 (UTC)