Комплексный анализ I/Билеты/Вычеты

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

составной спрямляемый жорданов контур в и .

Если нет, то по теореме Коши ;

если же особые точки есть, то окружим каждую из них окружностью, обозначим эти окружности через и рассмотрим новый составной жорданов контур .

По теореме Коши (так как )

но

Определение. . Вычетом в точке называется число .

Из этого определения сразу вытекает

Теорема. (Коши о вычетах): составной спрямляемый жорданов контур в и . Тогда .

Теорема.

Доказательство. (из формулы коэффициентов ряда Лорана)

Способы подсчёта вычетов[править]

1) устранимая для

2) полюс первого порядка для

2a) нуль первого порядка для , то есть . Тогда

3) полюс порядка для

4) существенно особая для . В этом случае общего способа нет, нужно пытаться разложить в ряд Лорана и взять .

Вычет в [править]

Обратное направление обхода выбрано, чтобы область при обходе контура оставалась слева:

Residue at infty direction.png

Вычет в может не равняться нулю, даже если устранимая точка для .

Теорема.

Доказательство. Окружим каждую из окружностью, обозначим эти окружности через , а через обозначим окружность . Рассмотрим составной жорданов контур .

(по теореме Коши)

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)