Комплексный анализ I/Билеты/Интегральная теорема Коши

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определение. Область называется односвязной, если связна.

Теорема. (Коши) односвязная область, . Тогда – замкнутой спрямляемой кривой – .

Доказательство. Разобьём доказательство на три части:

1) Лемма Гурса. , где треугольный контур в .

2) , где Г произвольная замкнутая ломаная в

3), где Г произвольная замкнутая спрямляемая кривая в

1) Пусть .

Разобьём наш контур на 4 части,как показано на рисунке:

Доказательство леммы Гурса разбиение треугольника.png

Тогда , так как внутренние перемычки в треугольнике проходятся в противоположных направлениях, следовательно, сумма интегралов по ним равна нулю.

(иначе )

Выбираем и разбиваем его на 4 части точно так же, как , и выбираем из этого разбиения такой .

Продолжая процесс, получаем .

Пусть и так далее. Тогда

: так как у нас последовательность вложенных треугольников, и их периметр стремится к нулю, то в пересечении у них только точка .

(при )

Интегралы равны нулю.

(по свойству 5)

Мы получили, что , значит, . Так как мы выбирали произвольно, то можно сделать его сколь угодно малым, значит, , что и требовалось доказать.

2а) Пусть Г выпуклая замкнутая ломаная:

Доказательство интегральной теоремы Коши иллюстрация к случаю выпуклой замкнутой ломаной.png

(по пункту 1)

2б) Пусть Г произвольная замкнутая ломаная:

Доказательство интегральной теоремы Коши иллюстрация к случаю произвольной замкнутой ломаной.png

Примем без доказательства, что , где выпуклые замкнутые ломаные. Тогда

3) Возьмём открытое множество . По теореме Кантора, функция, непрерывная на компакте , равномерно непрерывна на нём:

Возьмём такую замкнутую ломаную , вписанную в Г, чтобы и чтобы ( вершины ломаной, ). Для этого достаточно,чтобы .

(так как )

Так как и

Isbur (обсуждение) 00:39, 26 марта 2019 (UTC)