Перейти к содержанию

Комплексный анализ I/Билеты/Комплексная производная

Материал из Викиверситета

Дифференцируемость

[править]

Определение. называется дифференцируемой в точке , если .

Пример.

Пример.

Этот предел не существует, так как если брать вида , то есть только действительная часть, то ;

если брать вида , то .

Определение. . называется -дифференцируемой в точке , если:

Теорема. '' -дифференцируема в точке тогда и только тогда, когда:

  1. -дифференцируема в точке ;
  2. выполняются условия Коши Римана:

Доказательство. -дифференцируема тогда и только тогда, когда

Следовательно:

Видно,что:

,

то есть:

Пример. (выполнены условия Коши–Римана, но нет -дифференцируемости)

Возьмём функцию ,где функция, на действительной и мнимой осях равная , а вне их равная , а . Возьмём точку :

Условия КошиРимана выполняются, но не -дифференцируема, так как разрывна.

Замечание. -дифференцируемость в точке влечёт за собой непрерывность в точке .

Правила дифференцирования

[править]

Пример. Рассмотрим функцию :

-дифференцируемость в любой точке очевидна, проверим условия Коши Римана:

Итак, экспонента -дифференцируема. Найдём её производную .

Экспонента -дифференцируема, значит, этот предел одинаков по всем направлениям, в частности, по чисто действительному направлению :

Значит, , и, вообще, если -дифференцируема в точке , то

Пример. Вычислим производные синуса и косинуса:

Пример. (Функция, которая -дифференцируема везде, кроме нуля, а в нуле выполняются условия Коши-Римана)

Значит,

Теорема. (Лумана-Меньшова, без доказательства): область, непрерывна в и удовлетворяет условиям Коши Римана в . Тогда -дифференцируема в .

Условия Коши-Римана в комплексной форме

[править]

Введём такие обозначения:

Запишем производную :

не существует, поэтому это возможно только если . Это и есть условие Коши Римана в комплексной форме.

Голоморфные функции

[править]

Определение. называется голоморфной (аналитической) в точке , если она -дифференцируема в точке .

Определение. , определённая в области , называется голоморфной (аналитической) в области , если она -дифференцируема во всех точках . Голоморфность в области обозначается так: или .

Утверждение. область, и .

Тогда

Доказательство. *пока нет*

Голоморфность в бесконечности

[править]

Определение. . , если

Пример. в точке . голоморфна в точке , значит, и голоморфна в точке .

Определение. называется голоморфной в бесконечности, если . Голоморфность в бесконечности обозначается: .

Пример.

, значит,

Пример.

, значит,

Конформность голоморфных отображений

[править]

Определение. -дифференцируема в точке . конформна в точке , если дифференциал обладает свойствами сохранения ориентированных углов и постоянства расстояния, то есть матрица Якоби ортогональная матрица с положительным определителем.

Примечание. В этом курсе лекций мы называем матрицу ортогональной, если её столбцы как векторы ортогональны; определитель не обязательно равен 1.

Утверждение. конформно в точке -дифференцируема в точке и .

Доказательство. конформно в точке

  1. -дифференцируема

выполняются условия Коши Римана

  1. -дифференцируема

Значит, и .

Геометрический смысл производной

[править]

коэффициент растяжения бесконечно малых векторов

угол, на который поворачиваются бесконечно малые вектора

Определение. голоморфна в области , конформна в точке .

В много конформных отображений.

Теорема. (Лиувилль, без доказательства)

область в , конформна в любой точке из . Тогда является композицией параллельного переноса, инверсии, поворота и гомотетии.