Комплексный анализ I/Билеты/Комплексная производная

Дифференцируемость

Определение. $f:u\left(z_0\right)\to ℂ$ называется $ℂ$ дифференцируемой в точке $z_0$, если $\mathrm{\exists }\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f\left(z_0\right)}{\mathrm{\Delta }z}=f^{\prime }\left(z_0\right)$.

Пример. $f(z)=z^n;\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{{(z_0+\mathrm{\Delta }z)}^n-z_0^n}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }z({(z_0+\mathrm{\Delta }z)}^{n-1}+\cdots +z_0^{n-1})}{\mathrm{\Delta }z}=n{z}_0^{n-1}$

Пример. $f(z)=\bar{z};\underset{\mathrm{\Delta }Z\to 0}{lim}\frac{\overline{z_0+\mathrm{\Delta }z}-\overline{z_0}}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{\overline{\mathrm{\Delta }z}}{\mathrm{\Delta }z}$

Этот предел не существует, так как если брать $\mathrm{\Delta }z$ вида $\mathrm{\Delta }z=\mathrm{\Delta }x$, то есть только действительная часть, то $\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{\overline{\mathrm{\Delta }z}}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{\mathrm{\Delta }x}{\mathrm{\Delta }x}=1$;

если брать $\mathrm{\Delta }z$ вида $\mathrm{\Delta }z=i\mathrm{\Delta }y$, то $\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{\overline{\mathrm{\Delta }z}}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{-i\mathrm{\Delta }y}{i\mathrm{\Delta }y}=-1$.

Определение. $⊐z=x+iy,f(z)=u(x,y)+iv(x,y)$. $f$ называется $ℝ$-дифференцируемой в точке $z_0$, если:

$\{\begin{array}{c}u(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-u(x_0,y_0)=a\mathrm{\Delta }x+b\mathrm{\Delta }y+o\left(\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}\right)\\ v(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-v(x_0,y_0)=c\mathrm{\Delta }x+d\mathrm{\Delta }y+o\left(\sqrt{\mathrm{\Delta }{x}^2+\mathrm{\Delta }{y}^2}\right)\end{array}$

Теорема. $⊐f=u+iv:u\left(z_0\right)\to ℂ,$''$f$ $ℂ$-дифференцируема в точке $z_0$ тогда и только тогда, когда:

1. $f$ $ℝ$-дифференцируема в точке $z_0$;
2. выполняются условия Коши Римана:

$\{\begin{array}{c}{u}_x\left(z_0\right)=v_y\left(z_0\right)\\ u_y\left(z_0\right)=-v_x\left(z_0\right)\end{array}$

Доказательство. $f$ $ℂ$-дифференцируема тогда и только тогда, когда $f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f\left(z_0\right)=f^{\prime }\left(z_0\right)\mathrm{\Delta }z+o(\mathrm{\Delta }z)(\mathrm{\Delta }z\to 0)$

$u(z_0+\mathrm{\Delta }z)-u\left(z_0\right)+i(v(z_0+\mathrm{\Delta }z)-v\left(z_0\right))=(a+ib)(\mathrm{\Delta }x+i\mathrm{\Delta }y)+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$

Следовательно:

$\{\begin{array}{c}u(z_0+\mathrm{\Delta }z)-u\left(z_0\right)=a\mathrm{\Delta }x-b\mathrm{\Delta }y+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\\ v(z_0+\mathrm{\Delta }z)-v\left(z_0\right)=b\mathrm{\Delta }x+a\mathrm{\Delta }y+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\end{array}$

Видно,что:

$u_x\left(z_0\right)=a,u_y\left(z_0\right)=-b,v_x\left(z_0\right)=b,v_y\left(z_0\right)=a$,

то есть:

$\{\begin{array}{c}{u}_x\left(z_0\right)=v_y\left(z_0\right)\\ u_y\left(z_0\right)=-v_x\left(z_0\right)\end{array}$

Пример. (выполнены условия Коши–Римана, но нет $ℂ$-дифференцируемости)

Возьмём функцию $f=u+iv$,где $u$ функция, на действительной и мнимой осях равная $1$, а вне их равная $0$, а $v\equiv 0$. Возьмём точку $z_0=0$:

$\{\begin{array}{c}{v}_x(0)=0\\ v_y(0)=0\\ u_x(0)=0\\ u_y(0)=0\end{array}$

Условия КошиРимана выполняются, но $f$ не $ℂ$-дифференцируема, так как разрывна.

Замечание. $ℂ$-дифференцируемость в точке $z_0$ влечёт за собой непрерывность в точке $z_0$ .

Правила дифференцирования

1. $(f\pm g{)}^{\prime }=f^{\prime }\pm g^{\prime }$
2. $(\alpha f{)}^{\prime }=\alpha f^{\prime }$
3. $(gf{)}^{\prime }=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$
4. $\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{fg-gf}{g^2}$
5. $\left(f\left(g\left(z_0\right)\right)\right)=f^{\prime }\left(g\left(z_0\right)\right)g^{\prime }\left(z_0\right)$
6. $\left(f^{-1}\right)\left(z_0\right)=\frac{1}{f^{\prime }\left(f^{-1}\left(z_0\right)\right)}$

Пример. Рассмотрим функцию $e^Z$:

$e^z=e^x(\cos y+i\sin y)$

$\{\begin{array}{c}u=e^x\cos y\\ v=e^x\sin y\end{array}$

$ℝ$-дифференцируемость в любой точке очевидна, проверим условия Коши Римана:

$\begin{array}{cc}{u}_x=& e^x\cos y=v_y\\ u_y=& -e^x\sin y=-v_x\end{array}$

Итак, экспонента $ℂ$-дифференцируема. Найдём её производную ${\left(e^z\right)}^{\prime }\left(z_0\right)=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{e^{z_0+\mathrm{\Delta }z}-e^{z_0}}{\mathrm{\Delta }z}$.

Экспонента $ℂ$-дифференцируема, значит, этот предел одинаков по всем направлениям, в частности, по чисто действительному направлению $\mathrm{\Delta }z=\mathrm{\Delta }x$:

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{e^{z_0+\mathrm{\Delta }z}-e^{z_0}}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{z_0+\mathrm{\Delta }z}-e^{z_0}}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{\partial e^z}{\partial x}=e^{x_0}(\cos y_0+i\sin y_0)=e^{z_0}$

Значит, ${\left(e^z\right)}^{\prime }=e^z$, и, вообще, если $f(z)$ $ℂ$-дифференцируема в точке $z_0$, то $f^{\prime }\left(z_0\right)=\frac{\partial f}{\partial x}\left(z_0\right)=-i\frac{\partial f}{\partial y}\left(z_0\right)$

Пример. Вычислим производные синуса и косинуса:

$\begin{array}{cc}(\sin z{)}^{\prime }& ={\left(\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\right)}^{\prime }=\frac{i{e}^{iz}+i{e}^{-iz}}{2i}=\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}=\cos z\\ (\cos z{)}^{\prime }& =\left(\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}\right)=\frac{i{e}^{iz}-i{e}^{-iz}}{2}=\frac{-e^{iz}+e^{-iz}}{2i}=-\sin z\end{array}$

Пример. (Функция, которая $ℂ$-дифференцируема везде, кроме нуля, а в нуле выполняются условия Коши-Римана)

$\begin{array}{c}f(z)=\{\begin{array}{c}{e}^{-\frac{1}{z^4}},z\ne 0\\ 0,z=0\end{array}\\ f(x)=e^{-\frac{1}{x^4}}\\ f_x(0)=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{e^{-\frac{1}{\mathrm{\Delta }{x}^4}}}{\mathrm{\Delta }x}=0\end{array}$

Значит,

$\begin{array}{c}{u}_x=v_x=0\\ f(iy)=e^{-\frac{1}{y^4}}\\ f_y(0)=\underset{\mathrm{\Delta }y\to 0}{lim}\frac{e^{-\frac{1}{\mathrm{\Delta }{y}^4}}}{\mathrm{\Delta }y}=0\end{array}$

Теорема. (Лумана-Меньшова, без доказательства): $⊐D$ область, $f:D\to ℂ$ непрерывна в $D$ и удовлетворяет условиям Коши Римана в $D$. Тогда $f$ $ℂ$-дифференцируема в $D$.

Условия Коши-Римана в комплексной форме

$⊐f=u+iv$

$f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f\left(z_0\right)=u(z_0+\mathrm{\Delta }z)-u\left(z_0\right)+i(v(z_0+\mathrm{\Delta }z)-v\left(z_0\right))$

$\begin{array}{c}u(z_0+\mathrm{\Delta }z)-u\left(z_0\right)+i(v(z_0+\mathrm{\Delta }z)-v\left(z_0\right))=u_x\mathrm{\Delta }x+u_y\mathrm{\Delta }y+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)+i(v_x\mathrm{\Delta }x+v_y\mathrm{\Delta }y+\\ +o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right))=u_x\frac{\mathrm{\Delta }z+\overline{\mathrm{\Delta }z}}{2}+u_y\frac{\mathrm{\Delta }z-\overline{\mathrm{\Delta }z}}{2i}+i(v_x\frac{\mathrm{\Delta }z+\overline{\mathrm{\Delta }z}}{2}+v_y\frac{\mathrm{\Delta }z-\overline{\mathrm{\Delta }z}}{2i})+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)=\end{array}$

$\begin{array}{c}=\frac{\mathrm{\Delta }z}{2}(u_x-i{u}_y+i{v}_x+v_y)+\frac{\overline{\mathrm{\Delta }z}}{2}(u_x+i{u}_y+i{v}_x-v_y)+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)=\frac{\mathrm{\Delta }z}{2}(u_x+i{v}_x-i(u_y+i{v}_y))+\\ +\frac{\overline{\mathrm{\Delta }z}}{2}(u_x+i{v}_x+i(u_y+i{v}_y))+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)=\mathrm{\Delta }z\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})+\overline{\mathrm{\Delta }z}\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)\end{array}$

Введём такие обозначения:

$\frac{\partial f}{\partial z}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})$

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})$

$\mathrm{\Delta }z\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}-i\frac{\partial f}{\partial y})+\overline{\mathrm{\Delta }z}\frac{1}{2}(\frac{\partial f}{\partial x}+i\frac{\partial f}{\partial y})+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)=\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{\Delta }z+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\overline{\mathrm{\Delta }z}+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)$

Запишем производную $f$:

$\frac{\partial f}{\partial z}=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{f(z_0+\mathrm{\Delta }z)-f\left(z_0\right)}{\mathrm{\Delta }z}=\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\frac{\frac{\partial f}{\partial z}\mathrm{\Delta }z+\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\overline{\mathrm{\Delta }z}+o\left(\sqrt{x^2+y^2}\right)}{\mathrm{\Delta }z}=\frac{\partial f}{\partial z}+\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\left(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\frac{\overline{\mathrm{\Delta }z}}{\mathrm{\Delta }z}\right)$

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\left(\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}\frac{\overline{\mathrm{\Delta }z}}{\mathrm{\Delta }z}\right)=0$

$\underset{\mathrm{\Delta }z\to 0}{lim}\left(\frac{\overline{\mathrm{\Delta }z}}{\mathrm{\Delta }z}\right)$ не существует, поэтому это возможно только если $\frac{\partial f}{\partial \bar{Z}}=0$. Это и есть условие Коши Римана в комплексной форме.

$\frac{\partial f}{\partial \bar{z}}=0$

$\frac{\partial f}{\partial \bar{Z}}=\frac{1}{2}(f_x+i{f}_y)=0$

$\begin{array}{c}{f}_x=-i{f}_y\\ u_x+i{v}_x=-i(u_y+i{v}_y)\\ u_x+i{v}_x=v_y-i{u}_y\\ v_x=-u_y\\ v_x=-u_y\end{array}$

Голоморфные функции

Определение. $f$ называется голоморфной (аналитической) в точке $z_0$, если она $ℂ$-дифференцируема в точке $z_0$.

Определение. $f$, определённая в области $D$, называется голоморфной (аналитической) в области $D$, если она $ℂ$-дифференцируема во всех точках $D$. Голоморфность в области $D$ обозначается так: $f\in O(D)$ или $f\in A(D)$.

Утверждение. $⊐D$ область, $f\in O(D)$ и $\mathrm{Re}f=u\equiv 0$.

Тогда $f\equiv i\ast const$

Доказательство. *пока нет*

Голоморфность в бесконечности

Определение. $⊐f:u\left(z_0\right)\to \overline{ℂ},f\left(z_0\right)=\mathrm{\infty }$. $f\in O(z_0)$, если $\frac{1}{f}\in O\left(z_0\right)$

Пример. $f(z)=\frac{1}{z}$ в точке $z_0=0$. $\frac{1}{f(z)}=z$ голоморфна в точке $z_0=0$, значит, и $f(z)$ голоморфна в точке $0$.

Определение. $f:u(\mathrm{\infty })\to \overline{ℂ}$ называется голоморфной в бесконечности, если $f\left(\frac{1}{z}\right)\in O(0)$. Голоморфность $f$ в бесконечности обозначается: $f(z)\in O(\mathrm{\infty })$.

Пример. $f(z)=\frac{az+b}{cz+d}$

$f(\mathrm{\infty })=\frac{a}{c},f\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{a+bz}{c+dz}\in O(0)$, значит, $f(z)\in O(\mathrm{\infty })$

Пример. $f(z)=z$

$f(\mathrm{\infty })=\mathrm{\infty },f\left(\frac{1}{z}\right)=\frac{1}{z}\in O(0)$, значит, $f(z)\in O(\mathrm{\infty })$

Конформность голоморфных отображений

Определение. $⊐f=u+iv:u(z_0=x_0+i{y}_0)\to ℂ,f$ – $ℝ$-дифференцируема в точке $z_0$. $f$ конформна в точке $z_0$, если дифференциал $f$ обладает свойствами сохранения ориентированных углов и постоянства расстояния, то есть матрица Якоби $J=\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)$ ортогональная матрица с положительным определителем.

Примечание. В этом курсе лекций мы называем матрицу ортогональной, если её столбцы как векторы ортогональны; определитель не обязательно равен 1.

Утверждение. $f$ конформно в точке $z_0⟺f$ $ℂ$-дифференцируема в точке $z_0$ и $f^{\prime }\left(z_0\right)\ne 0$.

Доказательство. $f$ конформно в точке $z_0⟺$

1. $f$ $ℝ$-дифференцируема
2. $\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$
3. $a^2+b^2\ne 0$

$\left(\begin{array}{cc}{u}_x& u_y\\ v_x& v_y\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}a& -b\\ b& a\end{array}\right)$$⟺$ выполняются условия Коши Римана $⟺$

1. $f$ $ℂ$-дифференцируема
2. $u_x^2+v_x^2\ne 0$

$\left|f^{\prime }\left(z_0\right)\right|=\left|f_x\left(z_0\right)\right|=|u_x+i{v}_x|=u_x^2+v_x^2\ne 0$

Значит, $\left|f^{\prime }\left(z_0\right)\right|\ne 0$ и $f^{\prime }\left(z_0\right)\ne 0$.

Геометрический смысл производной

$\left|f^{\prime }\left(z_0\right)\right|$ коэффициент растяжения бесконечно малых векторов

$\arg f^{\prime }\left(z_0\right)$ угол, на который поворачиваются бесконечно малые вектора

Определение. $f$ голоморфна в области $D$$⟺$ $f\in O(D)$, $\mathrm{\forall }z\in D:f^{\prime }(z)\ne 0$ $f(z)$ конформна в точке $z$.

В ${ℝ}^2$ много конформных отображений.

Теорема. (Лиувилль, без доказательства)

$⊐f$ область в ${ℝ}^n$, $n\ge 3,f:D\to {ℝ}^n$ конформна в любой точке из $D$. Тогда $f$ является композицией параллельного переноса, инверсии, поворота и гомотетии.