Комплексный анализ I/Билеты/Мероморфные функции

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Функции, мероморфные в . Достаточное условие разложимости мероморфной в функции в ряд из главных частей рядов Лорана в полюсах. Пример: .[править]

Определение. , если , где полюсы, и их не более чем счётное число.

Примечание. В дальнейшем считаем, что

Рассмотрим функции , то есть главные части рядов Лорана в полюсах . Зададимся вопросом: верно ли, что ?

Рассмотрим случаи:

1) полюсов конечное число: (какой то из них может быть равен )

ограничена на .

Cледовательно, по теореме Лиувилля, . Мы получили, что .

Утверждение. рациональная функция, и

2) полюсов бесконечное число:

Лемма. замкнутый спрямляемый жорданов контур, на котором нет . Тогда

Доказательство.

По интегральной формуле Коши:

Осталось доказать, что

имеет особые точки и ещё точку .

По теореме о вычете в бесконечности:

Нам нужен коэффициент при из ряда Лорана на бесконечности.

Получается, что коэффициент при .

Следствие. простые спрямляемые жордановы контуры:

а) на нет полюсов;

б)

в) на

Тогда и ряд равномерно сходится на .

Пример.

Применим следствие из леммы:

, так как чётная функция; значит,

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)