Комплексный анализ I/Билеты/Многогранность голоморфности

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема. (три эквивалентных определения голоморфных функций): область в (не обязательно односвязная). Тогда следующие условия эквивалентны:

1) (то есть дифференцируема в любой точке из )

2) раскладывается в степенной ряд в любом круге из

3) непрерывна в , и по любому треугольному контуру

Доказательство.

теорема о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора из предыдущей лекции

свойство степенных рядов

теорема Коши

теорема Мореры:

, значит, для любого спрямляемого контура (так же, как и в третьем пункте доказательства теоремы Коши)

круг, центр

интеграл по любой спрямляемой кривой с началом в и с концом в , и эта кривая лежит в . Точно так же, как в теореме о существовании первообразной в односвязной области, доказываем, что (там нужна только непрерывность , значит, , значит, по теореме о бесконечной дифференцируемости голоморфных функций, , значит, .

Isbur (обсуждение) 00:40, 26 марта 2019 (UTC)