Комплексный анализ I/Билеты/Основные элементарные функции

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определение. – область, называется однолистной в ,если .

Определение. Область называется максимальной областью однолистности для , если:

  1. определена в и однолистна в ней;
  2. определена на и однолистна в ней.

Основные элементарные функции[править]

Степенная функция[править]

максимальная область однолистности для выполняются (1) и (2).

Пример.

image

Корень n-ой степени[править]

-значная функция.

Определение. область, ; функция называется ветвью ,если .

Примечание. Не всегда можно выделить непрерывную ветвь.

Пример. У не существует непрерывной ветви в .

Функция Жуковского[править]

является областью однолистности .

Таким образом, максимальными областями однолистности являются внутренность единичной окружности и её внешность, причём переходят они под действием функции Жуковского в одно и то же множество. Так, для любой точки внутри единичной окружности есть точка вне этой окружности,а . Выясним,что это за область, например, выясним, во что перейдёт внутренность единичной окружности :

Эти точки при фиксированном и изменении образуют эллипс с полуосями:

При приближении к нулю стремится к бесконечности, следовательно, так как , тоже стремится к бесконечности, то есть получаются расширяющиеся эллипсы,а при приближении к единице стремится к нулю, то есть в пределе получается эллипс с полуосями 1 и 0, то есть отрезок ; в итоге получается, что функция Жуковского переводит внутренность единичной окружности и её внешность во всю плоскость, кроме отрезка .

Функция, обратная функции Жуковского[править]

двузначная функция.

Пример. Область, в которой у функции, обратной функции Жуковского, выделяется непрерывная ветвь: .

Одна ветвь переводит эту область обратно во внутренность единичной окружности,а другая во внешность единичной окружности.

Экспонента[править]

Поищем области однолистности для экспоненты:

Следовательно, область однолистности для , то есть примером максимальной области однолистности может быть любая горизонтальная бесконечная полоса высотой , и экспонента переводит её во всю плоскость без положительного луча действительной прямой. Докажем это, рассмотрев какой-нибудь вертикальный отрезок, входящий в нашу полосу. Пусть это будет отрезок от точки до точки . Экспонента переведёт его в кривую, задаваемую формулой ,где , а это есть окружность с выколотой правой точкой радиуса . Так как можно выбрать от до , то этот радиус может меняться в пределах , то есть эти окружности с выколотыми точками заполнят всю плоскость, кроме положительного луча действительной оси. Заметим, что из определения видно, что экспонента -периодична.

Логарифм[править]

бесконечнозначная функция (в данном случае счётнозначная)

Пример. Область,в которой выделяется непрерывная ветвь:

Тригонометрические функции[править]

Все тригонометрические формулы остаются верными. Вспомним гиперболические функции:

Видно, что гиперболические и тригонометрические функции связаны так:

Получается, область будет максимальной областью однолистности тогда и только тогда, когда , что для них выполнены условия 1 и 2.

Пример максимальной области однолистности:

image

Посмотрим,во что её переводит синус:

image

Докажем правильность последнего перехода. Известно,что единичный круг переходит во всю плоскость без отрезка . Осталось понять, куда переходит отрезок :

При этом меняется в пределах , значит, меняется в пределах по нижней мнимой полуоси, что и требовалось доказать.