Комплексный анализ I/Билеты/Основные элементарные функции

Определение. $⊐ D \subset \overline{ℂ}$ – область, $f : D \to ℂ$ называется однолистной в $D$ ,если $\forall Z_{1}, Z_{2} \in D f (z_{1}) = f (z_{2}) \Leftrightarrow z_{1} = z_{2}$ .

Определение. Область $D \subset \overline{ℂ}$ называется максимальной областью однолистности для $f$ , если:

$f$ определена в $D$ и однолистна в ней;
$\exists D^{'} \supset D : f$ определена на $D^{'}$ и однолистна в ней.

Основные элементарные функции

Степенная функция

$\begin{matrix} z^{n}, n \in N \\ z = r (\cos φ + i \sin φ) \\ z^{n} = r^{n} (\cos n φ + i \sin n φ) \\ z^{n} : ℂ \to ℂ \end{matrix}$

$z_{1}^{n} = z_{2}^{n} \Leftrightarrow {\begin{matrix} | z_{1} | = | z_{2} | \\ n \arg z_{1} \equiv n \arg z_{2} (mod 2 π) \end{matrix} \Leftrightarrow {\begin{matrix} | z_{1} | = | z_{2} | & (1) \\ \arg z_{1} - \arg z_{2} = \frac{2 π k}{n}, k \in Z & (2) \end{matrix}$

$D$ максимальная область однолистности для $z^{n} ⟺ \exists z_{1}, z_{2} \in D :$ выполняются (1) и (2).

Пример.

Корень n-ой степени

$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} (\cos \frac{Arg z}{n} + i \sin \frac{Arg z}{n})$ – $n$ -значная функция.

$\sqrt[n]{z} = w \Rightarrow z = w^{n} ⟹ | z | (\cos φ + i \sin φ) = | w |^{n} (\cos (n \arg w) + i \sin (n \arg w))$

Определение. $⊐ D$ область, $F : D \to ℂ^{n (o r \infty)}$ ; функция $f$ называется ветвью $F$ ,если $\forall z \in D f (z) \in F (z)$ .

Примечание. Не всегда можно выделить непрерывную ветвь.

Пример. У $\sqrt{Z}$ не существует непрерывной ветви в $ℂ$ .

Функция Жуковского

$J (z) = \frac{1}{2} (z + \frac{1}{z}) : \overline{ℂ} \to \overline{ℂ}$

$\begin{matrix} J (\infty) = \infty \\ J (0) = \infty \end{matrix}$

$J (z_{1}) = J (z_{2}) \Leftrightarrow z_{1} z_{2} = 1 (\infty * 0 = 1)$

$D$ является областью однолистности $\Leftrightarrow z_{1}, z_{2} \in D : z_{1} z_{2} = 1$ .

Таким образом, максимальными областями однолистности являются внутренность единичной окружности и её внешность, причём переходят они под действием функции Жуковского в одно и то же множество. Так, для любой точки $a$ внутри единичной окружности есть точка $\frac{1}{a}$ вне этой окружности,а $J (a) = J (\frac{1}{a}) = \frac{1}{2} (a + \frac{1}{a})$ . Выясним,что это за область, например, выясним, во что перейдёт внутренность единичной окружности $| r | < 1$ :

$J (z) = J (r (\cos φ + i \sin φ)) = \frac{1}{2} (r (\cos φ + i \sin φ) + \frac{1}{r} (\cos φ - i \sin φ)) =$

$= \frac{1}{2} (r + \frac{1}{r}) \cos φ + i \frac{1}{2} (r - \frac{1}{r}) \sin φ$

Эти точки при фиксированном $r$ и изменении $φ$ образуют эллипс с полуосями:

$\begin{matrix} a = \frac{1}{2} (r + \frac{1}{r}) H b = \frac{1}{2} (\frac{1}{r} - r) \\ a^{2} - b^{2} = 1 \end{matrix}$

При приближении $r$ к нулю $a$ стремится к бесконечности, следовательно, так как $a^{2} - b^{2} = 1$ , $b$ тоже стремится к бесконечности, то есть получаются расширяющиеся эллипсы,а при приближении $r$ к единице $b$ стремится к нулю, то есть в пределе получается эллипс с полуосями 1 и 0, то есть отрезок $[- 1, 1]$ ; в итоге получается, что функция Жуковского переводит внутренность единичной окружности и её внешность во всю плоскость, кроме отрезка $[- 1, 1]$ .

Функция, обратная функции Жуковского

$J^{- 1} (z) = z + \sqrt{z^{2} - 1}$ двузначная функция.

$\begin{matrix} \frac{1}{2} (w + \frac{1}{w}) = z \\ w^{2} - 2 w z + 1 = 0 \\ w = z + \sqrt{z^{2} - 1} \end{matrix}$

Пример. Область, в которой у функции, обратной функции Жуковского, выделяется непрерывная ветвь: $D = ℂ ∖ [- 1, 1]$ .

Одна ветвь переводит эту область обратно во внутренность единичной окружности,а другая во внешность единичной окружности.

Экспонента

$\begin{matrix} z = x + i y \\ e^{z} := e^{x} (\cos y + i \sin y) : ℂ \to ℂ ∖ {0} \end{matrix}$

Поищем области однолистности для экспоненты:

$e^{z_{1}} = e^{z_{2}} \Leftrightarrow {\begin{matrix} e^{x_{1}} = e^{x_{2}} \Leftrightarrow x_{1} = x_{2} \\ y_{1} - y_{2} = 2 π n, n \in Z \end{matrix}$

Следовательно, $D$ область однолистности для $e^{z} \Leftrightarrow \exists z_{1}, z_{2} \in D : z_{1} - z_{2} = 2 π n i$ , то есть примером максимальной области однолистности может быть любая горизонтальная бесконечная полоса высотой $2 π$ , и экспонента переводит её во всю плоскость без положительного луча действительной прямой. Докажем это, рассмотрев какой-нибудь вертикальный отрезок, входящий в нашу полосу. Пусть это будет отрезок от точки $(x_{0}, y_{0})$ до точки $(x_{0}, y_{0} + 2 π)$ . Экспонента переведёт его в кривую, задаваемую формулой $e^{x_{0}} (\cos y + i \sin y)$ ,где $y \in (y_{0}, y_{0} + 2 π)$ , а это есть окружность с выколотой правой точкой радиуса $e^{x_{0}}$ . Так как $x_{0}$ можно выбрать от $- \infty$ до $+ \infty$ , то этот радиус может меняться в пределах $(0, + \infty)$ , то есть эти окружности с выколотыми точками заполнят всю плоскость, кроме положительного луча действительной оси. Заметим, что из определения видно, что экспонента $2 π i$ -периодична.

Логарифм

$Ln z = \ln | z | + i Arg z$ бесконечнозначная функция (в данном случае счётнозначная)

$\begin{matrix} e^{w} = z \\ e^{R e w} (\cos (Im w) + i \sin (Im w)) = | z | (\cos (Im z) + \sin (Im z)) \\ Re w = \ln | z | \\ Im z = Arg z \end{matrix}$

Пример. Область,в которой выделяется непрерывная ветвь:

$\begin{matrix} ℂ ∖ [0, + \infty) \\ \ln | z | + i \arg z \in Ln z \end{matrix}$

Тригонометрические функции

$\begin{matrix} \sin z & := \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} \\ \cos z & := \frac{e^{i z} + e^{- i z}}{2} \end{matrix}$

Все тригонометрические формулы остаются верными. Вспомним гиперболические функции:

$\begin{matrix} ch z & := \frac{e^{z} + e^{- z}}{2} \\ sh z & := \frac{e^{z} - e^{- z}}{2} \end{matrix}$

Видно, что гиперболические и тригонометрические функции связаны так:

$\begin{matrix} \cos z & = ch i z \\ \sin z & = \frac{sh i z}{i} \end{matrix}$

$\sin z = \frac{e^{i z} - e^{- i z}}{2 i} = \frac{1}{2} (\frac{e^{i z}}{i} + \frac{i}{e^{i z}}) = J (\frac{e^{i z}}{i})$

$\sin z_{1} = \sin z_{2} \Leftrightarrow [\begin{matrix} e^{i z_{1}} = e^{i Z_{2}} \\ \frac{e^{i z_{1}}}{i} * \frac{e^{i z_{2}}}{i} = 1 \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} i z_{1} = i z_{2} + 2 π k i, k \in Z \\ e^{i (z_{1} + z_{2})} = - 1 \end{matrix} \Leftrightarrow$

$\Leftrightarrow [\begin{matrix} z_{1} - z_{2} = 2 π k, k \in Z \\ i (z_{1} + z_{2}) = Ln (- 1) = i (π + 2 π n), n \in Z \end{matrix} \Leftrightarrow [\begin{matrix} z_{1} - z_{2} = 2 π k, k \in Z (1) \\ z_{1} + z_{2} = π + 2 π n, n \in Z (2) \end{matrix}$

Получается, область $D$ будет максимальной областью однолистности тогда и только тогда, когда $\exists Z_{1}, Z_{2} \in D$ , что для них выполнены условия 1 и 2.

Пример максимальной области однолистности:

Посмотрим,во что её переводит синус:

Докажем правильность последнего перехода. Известно,что единичный круг переходит во всю плоскость без отрезка $[- 1, 1]$ . Осталось понять, куда переходит отрезок $[0, i]$ :

$J (i y) = \frac{1}{2} (i y + \frac{1}{i y}) = \frac{i}{2} (y - \frac{1}{y}), где 0 \leq y \leq 1$

При этом $\frac{1}{2} (y - \frac{1}{y})$ меняется в пределах $(- \infty, 0]$ , значит, $J (i y)$ меняется в пределах $(- \infty, 0]$ по нижней мнимой полуоси, что и требовалось доказать.