Комплексный анализ I/Билеты/Особые точки

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация в терминах рядов Лорана. Теорема Римана об устранимой особой точке. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка.[править]

Теорема. (Классификация изолированных особых точек)

Изолированная особая точка называется:

1) Устранимой'', если , либо если

2) Полюсом -го порядка'', если , либо если

3) Существенно особой'', если , либо если

Доказательство.

1) . Тогда

2) . Тогда ограничена в некоторой окрестности точки

Пусть в ряде Лорана присутствуют члены с отрицательными степенями , тогда, по неравенству Коши, .

Устремим к нулю, тогда (так как ). Значит, , следовательно,все при

3) , где . Посчитаем предел

4)

Для точка устранимая в , причём , так как , то есть , где

Здесь ряд Тейлора для функции в

По теореме единственности, для ряда Лорана исходный ряд для функции тоже начинается с члена со степенью .

Эквивалентность утверждений в третьем подпункте доказывать не надо, так как мы исчерпали все возможные случаи, кроме и ; значит, эти случаи эквивалентны.

Теорема. (Риман; об особой устранимой точке) – устранимая для ограничена в .

Доказательство. ) устранимая для ограничена в некоторой проколотой окрестности

) ( такое,что ограничена в )

Если и если , то . Значит, все при равны нулю. Следовательно:

Замечание. В этой теореме вместо ограниченности можно разрешить небольшой рост вблизи , главное, чтобы при .

Теорема. (Сохоцкий) существенно особая для

Доказательство. ) существенно особая для

) 1)

Докажем от противного.

Пусть

Следовательно, в , значит, устранимая для (по теореме Римана)

Это означает,что

Получаем противоречие с тем,что существенно особая.

2)

Пусть

Значит, по теореме Римана, устранимая для – противоречие с тем, что существенно особая.

как изолированная особая точка[править]

Определение. изолированная особая точка однозначного характера для , если для некоторого .

Определение. называется устранимой (полюсом,существенно особой) для ,если 0 является устранимой (полюсом, существенно особой) для . Так как , то в этой области раскладывается в ряд Лорана .

для для Ряд Лорана для Ряд Лорана для
устранимая устранимая
полюс -го порядка полюс -го порядка
существенно особая существенно особая

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)