Комплексный анализ I/Билеты/Особые точки

Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация в терминах рядов Лорана. Теорема Римана об устранимой особой точке. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка.

Теорема. (Классификация изолированных особых точек)

Изолированная особая точка называется:

1) Устранимой'', если ${\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)\in \mathbb {C} }$, либо если ${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

2) Полюсом ${\textstyle N}$-го порядка'', если ${\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)\in \infty }$, либо если ${\textstyle f(z)=\sum _{n=-N}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

3) Существенно особой'', если ${\textstyle \not \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)}$, либо если ${\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

Доказательство.

1) ${\textstyle \sqsupset f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$. Тогда ${\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}=C_{0}\in \mathbb {C} }$

2) ${\textstyle \sqsupset \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)\in \mathbb {C} }$. Тогда ${\textstyle f(z)}$ ограничена в некоторой окрестности точки ${\textstyle a:|f(z)|<M}$

Пусть в ряде Лорана присутствуют члены с отрицательными степенями ${\textstyle n<0}$, тогда, по неравенству Коши, ${\textstyle \left|C_{n}\right|<{\frac {M}{\rho ^{n}}}=M\rho ^{-n}}$.

Устремим ${\textstyle \rho }$ к нулю, тогда ${\textstyle M\rho ^{-n}\rightarrow 0}$ (так как ${\textstyle n<0}$). Значит, ${\textstyle \left|C_{n}\right|\rightarrow 0}$, следовательно,все ${\textstyle C_{n}=0}$ при ${\textstyle n=-1,-2,\dots }$

3) ${\textstyle f(z)=\sum _{n=-N}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}=(z-a)^{-N}\left(C_{-N}+C_{-N+1}(z-a)+\cdots \right)}$, где ${\textstyle C_{-N}\neq 0}$. Посчитаем предел

${\textstyle \lim _{z\rightarrow a}f(z)=\lim _{z\rightarrow a}\left((z-a)^{-N}\left(C_{-N}+C_{-N+1}(z-a)+\cdots \right)\right)=\infty }$

4) ${\textstyle {\underset {z\rightarrow a}{\lim }}f(z)=\infty \Rightarrow \exists {\dot {u}}(a):\forall z\in {\dot {u}}(a)\neq 0;\quad g(z)={\frac {1}{f(z)}}\in O({\dot {u}}(a)),\lim _{z\rightarrow a}g(z)=0}$

Для ${\textstyle g(z)}$ точка ${\textstyle a}$ устранимая ${\textstyle \Rightarrow }$ в ${\textstyle {\dot {u}}(a)g(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }b_{n}(z-a)^{n}}$, причём ${\textstyle b_{0}=0}$, так как ${\textstyle \lim _{z\rightarrow a}g(z)=0}$, то есть ${\textstyle g(z)=b_{N}(z-a)^{N}+\cdots }$, где ${\textstyle b_{N}\neq 0,N\neq 0}$

${\textstyle g(z)=b_{N}(z-a)^{N}+\cdots =(z-a)^{N}\left(b_{N}+b_{N+1}(z-a)\ldots \right)=(z-a)^{N}h(z)}$

${\textstyle h(z)\in O({\dot {u}}(a)),h(a)=b_{N}\neq 0\Rightarrow \exists W(a)\quad \forall z\in W(a)\quad h(z)\neq 0}$

${\textstyle f(z)={\frac {1}{(z-a)^{N}h(z)}}={\frac {1}{(z-a)^{N}}}{\frac {1}{h(z)}}={\frac {1}{(z-a)^{N}}}\left({\frac {1}{b_{N}}}+\cdots \right)}$

Здесь ${\textstyle \left({\frac {1}{b_{N}}}+\cdots \right)}$ ряд Тейлора для функции ${\textstyle {\frac {1}{h(z)}}}$ в ${\textstyle W(a)}$

${\textstyle \forall z\in W(a)\quad f(z)=\sum _{n=-N}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

По теореме единственности, для ряда Лорана исходный ряд для функции ${\textstyle f}$ тоже начинается с члена со степенью ${\textstyle -N}$.

Эквивалентность утверждений в третьем подпункте доказывать не надо, так как мы исчерпали все возможные случаи, кроме ${\textstyle \not \exists {\underset {z\rightarrow a}{\lim }}f(z)}$ и ${\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$; значит, эти случаи эквивалентны.

Теорема. (Риман; об особой устранимой точке) ${\textstyle \sqsupset f\in O(0<|z-a|<\varepsilon ),a}$ – устранимая для ${\textstyle f\Leftrightarrow \exists {\dot {u}}(a):f(z)}$ ограничена в ${\textstyle {\dot {u}}(a)}$.

Доказательство. ${\textstyle \Rightarrow }$) ${\textstyle a}$ устранимая для ${\textstyle f\Rightarrow \exists \lim _{Z\rightarrow a}f(z)\in \mathbb {C} \Rightarrow f}$ ограничена в некоторой проколотой окрестности ${\textstyle {\dot {u}}(a)}$

${\textstyle \Leftarrow }$) ${\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n},\quad \left|C_{n}\right|<{\frac {M}{\rho ^{n}}}}$ (${\textstyle \rho }$ такое,что ${\textstyle f}$ ограничена в ${\textstyle |z-a|<\rho }$)

Если ${\textstyle n<0}$ и если ${\textstyle \rho \rightarrow 0}$, то ${\textstyle {\frac {M}{\rho ^{n}}}\rightarrow 0}$. Значит, все ${\textstyle C_{n}}$ при ${\textstyle n<0}$ равны нулю. Следовательно:

${\textstyle f(z)=\sum _{n=0}^{+\infty }C_{n}(z-a)^{n}}$

Замечание. В этой теореме вместо ограниченности ${\textstyle f}$ можно разрешить небольшой рост вблизи ${\textstyle a}$, главное, чтобы ${\textstyle \max _{|z-a|=\rho }|f(z)|\rho \rightarrow 0}$ при ${\textstyle \rho \rightarrow 0}$.

Теорема. (Сохоцкий) ${\textstyle f(z)\in O(0<|z-a|<\varepsilon ),a}$ существенно особая для ${\textstyle f(z)\Leftrightarrow \forall A\in {\overline {\mathbb {C} }},\quad \exists z_{n}\rightarrow a:f\left(z_{n}\right)\rightarrow A}$

Доказательство. ${\textstyle \Leftarrow }$) ${\textstyle \forall A\in {\overline {\mathbb {C} }},\exists z_{n}\rightarrow a,:f\left(z_{n}\right)\rightarrow A\Rightarrow {\underset {z\rightarrow a}{\lim }}f(z)\Rightarrow a}$ существенно особая для ${\textstyle f(z)}$

${\textstyle \Rightarrow }$) 1) ${\textstyle A\in \mathbb {C} }$

Докажем от противного.

Пусть ${\textstyle \exists z_{n}\rightarrow a,:f\left(z_{n}\right)\rightarrow A\Rightarrow \exists \delta >0\exists \varepsilon >0\forall z\in u_{\delta }(a)}$

${\textstyle |f(z)-A|>\varepsilon }$

Следовательно, ${\textstyle \left|{\frac {1}{f(z)-A}}\right|<{\frac {1}{\varepsilon }}}$ в ${\textstyle {\dot {u}}_{\delta }(a)}$, значит, ${\textstyle a}$ устранимая для ${\textstyle {\frac {1}{f(z)-A}}}$ (по теореме Римана)

Это означает,что ${\textstyle \exists \lim _{z\rightarrow a}{\frac {1}{f(z)-A}}=B\in \mathbb {C} \Rightarrow \exists \lim _{z\rightarrow a}f(z)=A+{\frac {1}{B}}\in {\overline {C}}}$

Получаем противоречие с тем,что ${\textstyle a}$ существенно особая.

2) ${\textstyle A=\infty }$

Пусть ${\textstyle \not \exists z_{n}\rightarrow a:f\left(z_{n}\right)\rightarrow \infty \Rightarrow \exists \delta >0\exists M>0\forall z\in {\dot {u}}_{\delta }(a)|f(z)|<M}$

Значит, по теореме Римана, ${\textstyle a}$ устранимая для ${\textstyle f(z)}$ – противоречие с тем, что ${\textstyle a}$ существенно особая.

${\textstyle \infty }$ как изолированная особая точка

Определение. ${\textstyle \infty }$ изолированная особая точка однозначного характера для ${\textstyle f}$, если ${\textstyle f\in O(|z|>R)}$ для некоторого ${\textstyle R>0}$.

Определение. ${\textstyle \infty }$ называется устранимой (полюсом,существенно особой) для ${\textstyle f(z)}$,если 0 является устранимой (полюсом, существенно особой) для ${\textstyle f\left({\frac {1}{z}}\right)\in O\left(0<|z|<{\frac {1}{R}}\right)}$. Так как ${\textstyle f(z)\in O(|z|>R)}$, то в этой области ${\textstyle f(z)}$ раскладывается в ряд Лорана ${\textstyle f(z)=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}z^{n}}$.

${\textstyle \infty }$ для ${\textstyle f(z)}$	${\textstyle 0}$ для ${\textstyle f({\frac {1}{z}})}$	Ряд Лорана для ${\textstyle f({\frac {1}{z}})}$	Ряд Лорана для ${\textstyle f(z)}$
устранимая	устранимая	${\textstyle \sum _{n=0}^{+\infty }C_{-n}z^{n}}$	${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{0}C_{n}z^{n}}$
полюс ${\textstyle N}$-го порядка	полюс ${\textstyle N}$-го порядка	${\textstyle \sum _{n=-N}^{+\infty }C_{-n}z^{n}}$	${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{N}C_{n}z^{n}}$
существенно особая	существенно особая	${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{-n}z^{n}}$	${\textstyle \sum _{n=-\infty }^{+\infty }C_{n}z^{n}}$

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)