Изолированные особые точки однозначного характера, их классификация в терминах рядов Лорана. Теорема Римана об устранимой особой точке. Теорема Сохоцкого. Бесконечность как изолированная особая точка.

Теорема. (Классификация изолированных особых точек)

Изолированная особая точка называется:

1) Устранимой'', если $\exists lim_{z \to a} f (z) \in ℂ$ , либо если $f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}$

2) Полюсом $N$ -го порядка'', если $\exists lim_{z \to a} f (z) \in \infty$ , либо если $f (z) = \sum_{n = - N}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}$

3) Существенно особой'', если $\exists lim_{z \to a} f (z)$ , либо если $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}$

Доказательство.

1) $⊐ f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}$ . Тогда $\exists lim_{z \to a} f (z) = lim_{z \to a} \sum_{n = 0}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n} = C_{0} \in ℂ$

2) $⊐ \exists lim_{z \to a} f (z) \in ℂ$ . Тогда $f (z)$ ограничена в некоторой окрестности точки $a : | f (z) | < M$

Пусть в ряде Лорана присутствуют члены с отрицательными степенями $n < 0$ , тогда, по неравенству Коши, $| C_{n} | < \frac{M}{ρ^{n}} = M ρ^{- n}$ .

Устремим $ρ$ к нулю, тогда $M ρ^{- n} \to 0$ (так как $n < 0$ ). Значит, $| C_{n} | \to 0$ , следовательно,все $C_{n} = 0$ при $n = - 1, - 2, \dots$

3) $f (z) = \sum_{n = - N}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n} = (z - a)^{- N} (C_{- N} + C_{- N + 1} (z - a) + \dots)$ , где $C_{- N} \neq 0$ . Посчитаем предел

$lim_{z \to a} f (z) = lim_{z \to a} ((z - a)^{- N} (C_{- N} + C_{- N + 1} (z - a) + \dots)) = \infty$

4) $lim_{z \to a} f (z) = \infty \Rightarrow \exists \dot{u} (a) : \forall z \in \dot{u} (a) \neq 0; g (z) = \frac{1}{f (z)} \in O (\dot{u} (a)), lim_{z \to a} g (z) = 0$

Для $g (z)$ точка $a$ устранимая $\Rightarrow$ в $\dot{u} (a) g (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} b_{n} (z - a)^{n}$ , причём $b_{0} = 0$ , так как $lim_{z \to a} g (z) = 0$ , то есть $g (z) = b_{N} (z - a)^{N} + \dots$ , где $b_{N} \neq 0, N \neq 0$

$g (z) = b_{N} (z - a)^{N} + \dots = (z - a)^{N} (b_{N} + b_{N + 1} (z - a) \dots) = (z - a)^{N} h (z)$

$h (z) \in O (\dot{u} (a)), h (a) = b_{N} \neq 0 \Rightarrow \exists W (a) \forall z \in W (a) h (z) \neq 0$

$f (z) = \frac{1}{(z - a)^{N} h (z)} = \frac{1}{(z - a)^{N}} \frac{1}{h (z)} = \frac{1}{(z - a)^{N}} (\frac{1}{b_{N}} + \dots)$

Здесь $(\frac{1}{b_{N}} + \dots)$ ряд Тейлора для функции $\frac{1}{h (z)}$ в $W (a)$

$\forall z \in W (a) f (z) = \sum_{n = - N}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}$

По теореме единственности, для ряда Лорана исходный ряд для функции $f$ тоже начинается с члена со степенью $- N$ .

Эквивалентность утверждений в третьем подпункте доказывать не надо, так как мы исчерпали все возможные случаи, кроме $\exists lim_{z \to a} f (z)$ и $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}$ ; значит, эти случаи эквивалентны.

Теорема. (Риман; об особой устранимой точке) $⊐ f \in O (0 < | z - a | < ε), a$ – устранимая для $f \Leftrightarrow \exists \dot{u} (a) : f (z)$ ограничена в $\dot{u} (a)$ .

Доказательство. $\Rightarrow$ ) $a$ устранимая для $f \Rightarrow \exists lim_{Z \to a} f (z) \in ℂ \Rightarrow f$ ограничена в некоторой проколотой окрестности $\dot{u} (a)$

$\Leftarrow$ ) $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}, | C_{n} | < \frac{M}{ρ^{n}}$ ( $ρ$ такое,что $f$ ограничена в $| z - a | < ρ$ )

Если $n < 0$ и если $ρ \to 0$ , то $\frac{M}{ρ^{n}} \to 0$ . Значит, все $C_{n}$ при $n < 0$ равны нулю. Следовательно:

$f (z) = \sum_{n = 0}^{+ \infty} C_{n} (z - a)^{n}$

Замечание. В этой теореме вместо ограниченности $f$ можно разрешить небольшой рост вблизи $a$ , главное, чтобы ${max}_{| z - a | = ρ} | f (z) | ρ \to 0$ при $ρ \to 0$ .

Теорема. (Сохоцкий) $f (z) \in O (0 < | z - a | < ε), a$ существенно особая для $f (z) \Leftrightarrow \forall A \in \overline{ℂ}, \exists z_{n} \to a : f (z_{n}) \to A$

Доказательство. $\Leftarrow$ ) $\forall A \in \overline{ℂ}, \exists z_{n} \to a, : f (z_{n}) \to A \Rightarrow lim_{z \to a} f (z) \Rightarrow a$ существенно особая для $f (z)$

$\Rightarrow$ ) 1) $A \in ℂ$

Докажем от противного.

Пусть $\exists z_{n} \to a, : f (z_{n}) \to A \Rightarrow \exists δ > 0 \exists ε > 0 \forall z \in u_{δ} (a)$

$| f (z) - A | > ε$

Следовательно, $| \frac{1}{f (z) - A} | < \frac{1}{ε}$ в ${\dot{u}}_{δ} (a)$ , значит, $a$ устранимая для $\frac{1}{f (z) - A}$ (по теореме Римана)

Это означает,что $\exists lim_{z \to a} \frac{1}{f (z) - A} = B \in ℂ \Rightarrow \exists lim_{z \to a} f (z) = A + \frac{1}{B} \in \overline{C}$

Получаем противоречие с тем,что $a$ существенно особая.

2) $A = \infty$

Пусть $\exists z_{n} \to a : f (z_{n}) \to \infty \Rightarrow \exists δ > 0 \exists M > 0 \forall z \in {\dot{u}}_{δ} (a) | f (z) | < M$

Значит, по теореме Римана, $a$ устранимая для $f (z)$ – противоречие с тем, что $a$ существенно особая.

$\infty$ как изолированная особая точка

Определение. $\infty$ изолированная особая точка однозначного характера для $f$ , если $f \in O (| z | > R)$ для некоторого $R > 0$ .

Определение. $\infty$ называется устранимой (полюсом,существенно особой) для $f (z)$ ,если 0 является устранимой (полюсом, существенно особой) для $f (\frac{1}{z}) \in O (0 < | z | < \frac{1}{R})$ . Так как $f (z) \in O (| z | > R)$ , то в этой области $f (z)$ раскладывается в ряд Лорана $f (z) = \sum_{n = - \infty}^{+ \infty} C_{n} z^{n}$ .

$\infty$ для $f (z)$	$0$ для $f (\frac{1}{z})$	Ряд Лорана для $f (\frac{1}{z})$	Ряд Лорана для $f (z)$
устранимая	устранимая	$\sum_{n = 0}^{+ \infty} C_{- n} z^{n}$	$\sum_{n = - \infty}^{0} C_{n} z^{n}$
полюс $N$ -го порядка	полюс $N$ -го порядка	$\sum_{n = - N}^{+ \infty} C_{- n} z^{n}$	$\sum_{n = - \infty}^{N} C_{n} z^{n}$
существенно особая	существенно особая	$\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} C_{- n} z^{n}$	$\sum_{n = - \infty}^{+ \infty} C_{n} z^{n}$

Isbur (обсуждение) 16:07, 26 марта 2019 (UTC)

∞ как изолированная особая точка

$\infty$ как изолированная особая точка