Комплексный анализ I/Билеты/Пространство голоморфных функций

${\textstyle \sqsupset D}$ область в ${\textstyle \mathbb {C} }$, ${\textstyle O(D)}$ линейное пространство голоморфных в ${\textstyle D}$ функций. Какая сходимость естественна в пространстве ${\textstyle O(D)}$? Обычная равномерная сходимость не годится. Запишем её определение:

${\textstyle f_{n}\Rightarrow f{\text{ }}}$ на ${\textstyle D:\forall \varepsilon >0\quad \exists N=N(\varepsilon )\quad \forall n\geq N\quad \forall z\in D\quad \left|f_{n}(z)-f(z)\right|<\varepsilon }$

и поясним, что же не так. Возьмём ${\textstyle D=\mathbb {C} }$, получим, что ${\textstyle f_{n}(z)-f(z)}$ ограничена в ${\textstyle D}$, и, по теореме Лиувилля, ${\textstyle f_{n}(z)-f(z)\equiv c}$, ${\textstyle f_{n}(z)\equiv f(z)+c\quad \forall n}$. Получается, что наша последовательность состоит из одинаковых функций.

Определение. ${\textstyle \sqsupset f_{n},f\in O(D)}$

${\textstyle f_{n}\rightrightarrows f}$ внутри ${\textstyle D}$, если ${\textstyle \forall }$ компакта ${\textstyle K\subset D}$ ${\textstyle f_{n}\rightrightarrows f}$ на ${\textstyle K}$ (просто равномерно сходится на ${\textstyle K}$).

Теорема. (Вейерштрасс) ${\textstyle \sqsupset D}$ область в ${\textstyle \mathbb {C} }$, ${\textstyle f_{n}\in O(D),\quad f_{n}\rightrightarrows f}$ внутри ${\textstyle D\Rightarrow f\in O(D),\quad \forall n\in N\quad f_{n}^{(k)}\rightrightarrows f^{(k)}}$ внутри ${\textstyle D}$.

Доказательство. ${\textstyle f_{n}\in O(D)\Rightarrow f_{n}\in C(D),f_{n}\rightarrow f}$ внутри ${\textstyle D}$ ${\textstyle \Rightarrow f\in C(D)\Leftrightarrow \forall }$ круга ${\textstyle {\overline {u}}\subset D\quad f(z)\in C({\overline {u}})}$ как равномерный предел непрерывных на компакте функций. По теореме Мореры, ${\textstyle \forall }$ треугольного контура ${\textstyle \Delta :\operatorname {Int} \Delta \subset D}$ существует интеграл ${\textstyle \int _{\Delta }f(z)dz}$ (${\textstyle f(z)\in C(D)}$).

${\textstyle \int _{\Delta }f(z)dz=\int _{\Delta }\left(f(z)-f_{n}(z)\right)dz+\int _{\Delta }f_{n}(z)dz}$

${\textstyle \int _{\Delta }f_{n}(z)dz=0}$, так как ${\textstyle f_{n}\in O(D)}$ и ${\textstyle \Delta }$ замкнутый контур.

${\textstyle \int _{\Delta }\left(f(z)-f_{n}(z)\right)dz\leq \max _{\Delta }\left|f_{n}(z)-f(z)\right||\Delta |}$

${\textstyle \max _{\Delta }\left|f_{n}(z)-f(z)\right|\rightarrow 0{\text{ (}}n\rightarrow \infty )}$, так как получилось, что ${\textstyle \int _{\Delta }f(z)dz=0\Rightarrow f(z)\in O(D)}$.

Осталось доказать, что ${\textstyle \forall K\subset Df_{n}^{(k)}\rightrightarrows f^{(k)}}$ на ${\textstyle K}$.

Выделяем из бесконечного покрытия конечное: ${\textstyle K\subset \bigcup _{j=1}^{m}{\overline {u}}_{j},{\overline {u}}_{j}}$ замкнутый круг, ${\textstyle {\overline {u_{j}}}\subset D}$ (это возможно, так как ${\textstyle K}$ компакт). Окружим замкнутые круги ${\textstyle {\overline {u_{j}}}}$ окружностями ${\textstyle \gamma _{j}}$, чтобы ${\textstyle \gamma _{j}\subset D}$. Из теоремы о бесконечной дифференцируемости голоморфной функции:

${\textstyle f_{n}^{(k)}-f^{(k)}={\frac {k!}{2\pi i}}\int _{\gamma _{k}}{\frac {f_{n}(\xi )-f(\xi )}{(\xi -z)^{k+1}}}d\xi \leq {\frac {k!}{2\pi }}{\frac {\left|\gamma _{k}\right|\max \left|f_{n}(\xi )-f(\xi )\right|}{r^{k+1}}}\rightarrow 0}$, так как ${\textstyle f_{n}\Rightarrow f}$ на ${\textstyle \gamma _{k}}$.

${\textstyle \forall \varepsilon >0\quad \exists N_{j}=N_{j}(\varepsilon )\quad \forall n>N_{j}\quad \forall z\in {\overline {u}}_{j}\quad \left|f_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)\right|<\varepsilon }$

Положим ${\textstyle N=\max _{j}N_{j}}$; тогда

${\textstyle \forall n>N\quad \forall z\in K\left|f_{n}^{(k)}(z)-f^{(k)}(z)\right|<\varepsilon }$,

то есть ${\textstyle f_{n}^{(k)}\rightrightarrows f^{(k)}}$ на ${\textstyle K}$.

Следствие. ${\textstyle \sqsupset f_{n}\in O(D);\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}}$ сходится равномерно внутри области ${\textstyle D}$ (то есть ${\textstyle S_{n}=\sum _{k=1}^{n}f_{k}\rightrightarrows }$ внутри ${\textstyle D}$) ${\textstyle \Rightarrow f(z)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}(z)\in O(D)\quad \mathrm {H} f^{(k)}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }f_{n}^{(k)}(z)}$ (${\textstyle \forall k\in N}$ сходимость равномерная внутри ${\textstyle D}$).

Доказательство. Просто применить теорему Вейерштрасса к ${\textstyle S_{n}}$.

Является ли пространство ${\textstyle O(D)}$ со сходимостью, которую мы определили выше, метрическим? То есть, существует ли метрика ${\textstyle \rho }$ в пространстве ${\textstyle O(D):\rho \left(f_{n},f\right)\rightarrow 0\Leftrightarrow f_{n}\rightrightarrows f}$ внутри ${\textstyle D}$?

'Теорема. ''''' Такая метрика существует:

${\textstyle \forall f,g\in O(D)\rho (f,g)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {\|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}}{1+\|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}}}}$, ${\textstyle \left\{K_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ произвольная система компактов, исчерпывающих область ${\textstyle D}$.

Эта метрика называется метрикой Фреше''.

Перед доказательством теоремы вспомним одно определение и проведём одно дополнительное рассуждение.

Определение. ${\textstyle \|f(z)-g(z)\|_{C(K)}:=\max _{z\in K}\|f(z)-g(z)\|}$.

Утверждение. ${\textstyle \sqsupset \left\{K_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ произвольная система компактов, исчерпывающих область ${\textstyle D}$. ${\textstyle \exists \left\{K_{i_{k}}\right\}_{k=1}^{\infty }:}$${\textstyle K_{i_{1}}\subseteq K_{i_{2}}\subseteq \cdots ,\bigcup _{i_{k=1}}^{\infty }K_{i_{k}}=D}$.

Доказательство. Нам нужно доказать, что ${\textstyle \rho (f,g)}$ удовлетворяет всем аксиомам метрики:

${\textstyle {\begin{array}{l}{{\text{ a) }}\rho (f,g)\geq 0,\quad {\text{ }}\rho (f,g)=0\Leftrightarrow f\equiv g}\\{{\text{ b) }}\rho (f,g)=\rho (g,f);}\\{{\text{ c) }}\rho (f,g)\leq \rho (f,h)+\rho (g,h)}\end{array}}}$

и, кроме того:

${\textstyle d)\ \rho \left(f_{n},f\right)\rightarrow 0\Leftrightarrow f_{n}\rightrightarrows f}$ на ${\textstyle D}$

a) очевидно;

b) очевидно;

c) нужно доказать,что ${\textstyle \forall K\in D\quad {\frac {\|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}}{1+\|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}}}\leq {\frac {\|f-h\|_{C\left(K_{n}\right)}}{1+\|f-h\|_{C\left(K_{n}\right)}}}+{\frac {\|g-h\|_{C\left(K_{n}\right)}}{1+\|g-h\|_{C\left(K_{n}\right)}}}}$.

Обозначим ${\textstyle a=\|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)},b=\|f-h\|_{C\left(K_{n}\right)},c=\|g-h\|_{C\left(K_{n}\right)}}$

Мы знаем, что для метрики ${\textstyle \|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}}$ верно, что ${\textstyle \|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}\leq \|f-h\|_{C\left(K_{n}\right)}+\|g-h\|_{C\left(K_{n}\right)}}$

То есть, нам нужно доказать, что если ${\textstyle a\leq b+c}$, то ${\textstyle {\frac {a}{1+a}}\leq {\frac {b}{1+b}}+{\frac {c}{1+c}}}$

Иначе, ${\textstyle \varphi (x)={\frac {x}{1+x}},a\leq b+c}$, верно ли, что ${\textstyle \varphi (a)\leq \varphi (b)+\varphi (c)}$?

${\textstyle \varphi (a)\leq \varphi (b+c)}$, так как ${\textstyle \varphi (x)}$ монотонно убывает и ${\textstyle a\leqslant b+c}$.

${\textstyle \varphi (b+c)\leqslant \varphi (b)+\varphi (c)}$, так как ${\textstyle \varphi (x)}$ выпукла вверх: ${\textstyle \varphi ^{\prime \prime }(x)=-{\frac {1}{(1+x)^{2}}}<0}$

d) ${\textstyle \rho \left(f_{n},f\right)\rightarrow 0\Leftrightarrow \left\Vert f_{n}-f\right\Vert _{C\left(K_{m}\right)}\rightarrow 0\quad \forall m\Leftrightarrow \left\Vert f_{n}-f\right\Vert _{C(K)}\rightarrow 0\quad \forall K\in D\Leftrightarrow f_{n}\rightrightarrows f}$ ${\textstyle \forall K\subset D}$, то есть, по определению, ${\textstyle f_{n}\rightrightarrows f}$ на ${\textstyle D}$.

Замечание. Почему ряд из определения метрики Фреше ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{2^{n}}}{\frac {\|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}}{1+\|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}}}}$ вообще сходится?

${\textstyle \|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}\geq 0\forall f,g}$

${\textstyle 0\leq {\frac {\|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}}{1+\|f-g\|_{C\left(K_{n}\right)}}}<1}$

Следствие. (из этой теоремы и теоремы Вейерштрасса) ${\textstyle O(D)}$ полное метрическое пространство.

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)