Комплексный анализ I/Билеты/Пространство голоморфных функций

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

область в , линейное пространство голоморфных в функций. Какая сходимость естественна в пространстве ? Обычная равномерная сходимость не годится. Запишем её определение:

на

и поясним, что же не так. Возьмём , получим, что ограничена в , и, по теореме Лиувилля, , . Получается, что наша последовательность состоит из одинаковых функций.

Определение.

внутри , если компакта на (просто равномерно сходится на ).

Теорема. (Вейерштрасс) область в , внутри внутри .

Доказательство. внутри круга как равномерный предел непрерывных на компакте функций. По теореме Мореры, треугольного контура существует интеграл ().

, так как и замкнутый контур.

, так как получилось, что .

Осталось доказать, что на .

Выделяем из бесконечного покрытия конечное: замкнутый круг, (это возможно, так как компакт). Окружим замкнутые круги окружностями , чтобы . Из теоремы о бесконечной дифференцируемости голоморфной функции:

, так как на .

Положим ; тогда

,

то есть на .

Следствие. сходится равномерно внутри области (то есть внутри ) ( сходимость равномерная внутри ).

Доказательство. Просто применить теорему Вейерштрасса к .

Является ли пространство со сходимостью, которую мы определили выше, метрическим? То есть, существует ли метрика в пространстве внутри ?

'Теорема. ''''' Такая метрика существует:

, произвольная система компактов, исчерпывающих область .

Эта метрика называется метрикой Фреше''.

Перед доказательством теоремы вспомним одно определение и проведём одно дополнительное рассуждение.

Определение. .

Утверждение. произвольная система компактов, исчерпывающих область . .

Доказательство. Нам нужно доказать, что удовлетворяет всем аксиомам метрики:

и, кроме того:

на

a) очевидно;

b) очевидно;

c) нужно доказать,что .

Обозначим

Мы знаем, что для метрики верно, что

То есть, нам нужно доказать, что если , то

Иначе, , верно ли, что ?

, так как монотонно убывает и .

, так как выпукла вверх:

d) , то есть, по определению, на .

Замечание. Почему ряд из определения метрики Фреше вообще сходится?

Следствие. (из этой теоремы и теоремы Вейерштрасса) полное метрическое пространство.

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)