Комплексный анализ I/Билеты/Ряды Лорана

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

13. Ряды Лорана, их область сходимости. Разложение функции, голоморфной в кольце, в ряд Лорана. Формулы для коэффициентов.[править]

Теорема.

любое число такое, что

Доказательство.

(по интегральной формуле Коши)

1)

Второй множитель можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

2)

Здесь второй множитель также можно рассматривать как сумму бесконечной геометрической прогрессии:

В первом интеграле вместо и во втором вместо можно взять любое число , так как интеграл по замкнутой кривой внутри окружности равен интегралу по окружности, значит

Замечание. Ряд Лорана сходится к равномерно внутри кольца .

Неравенства Коши для коэффициентов Лорана.

Теорема. (свойства рядов Лорана)

1) ряд Лорана сходится в кольце , где , . Вне этого кольца ряд расходится. Если то ряд не сходится вообще нигде

2) сумма ряда Лорана в кольце из пункта 1 голоморфная функция

3) , то есть наш ряд это ряд Лорана для .

Доказательство.

1) – первая часть называется правильной частью ряда Лорана, вторая главной частью ряда Лорана. Посмотрим, где сходятся по отдельности главная и правильная части.

Главная часть:

сходится при

Правильная часть:

сходится при

Получается, что ряд Лорана сходится в кольце . Если , то области сходимости главной части (внешность круга радиусом с центром в ) и правильной части (внутренность круга радиусом с центром в ) не пересекаются. Значит, ряд Лорана нигде не сходится.

2) правильная часть сходится равномерно внутри круга ;

главная часть сходится равномерно внутри

Значит, наш ряд сходится равномерно внутри кольца , по следствию из теоремы Вейерштрасса, сумма рядов голоморфна внутри кольца .

3)

Сделаем замену переменной ,

Следствие. (из пункта 3) Если , то коэффициенты её ряда Лорана определяются единственным образом.

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)