Комплексный анализ I/Билеты/Ряды Тейлора

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема. (о бесконечной дифференцируемости голоморфной функции): область,

,

где жорданов замкнутый спрямляемый контур, .

Доказательство. докажем формулу для по индукции. База индукции интегральная теорема Коши для . Пусть для произвольного верно:

Запишем разность и

Преобразуем отдельно выражение:

(здесь мы воспользовались формулой )

Оценим разность:

Оценим знаменатель снизу (обозначим ):

Теперь вернёмся к оценке нашего интеграла:

Теорема. (о разложении голоморфной функции в ряд Тейлора) область, , открытый круг, . Тогда

,

причём ряд Тейлора сходится равномерно и на любом другом меньшем круге.

Доказательство.

Taylor expansion theorem illustration.png

По интегральной формуле Коши:

(так как , потому что )

Используя формулу для -й производной из предыдущей теоремы, запишем:

Isbur (обсуждение) 00:40, 26 марта 2019 (UTC)