Комплексный анализ I/Билеты/Свойства голоморфных функций

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема. (Лиувилль) (такие функции называются целыми'') и . Тогда .

Доказательство. , ряд сходится в . Возьмём круг радиусом с центром в 0, тогда (по неравенству Коши) для коэфиициентов степенного ряда , так как функция на , а, следовательно, и на нашем круге, ограничена числом . При и при , значит, при и от нашего ряда Тейлора остаётся всего лишь свободный член, то есть константа: .

Теорема. (о среднем)

Доказательство. 1) По интегральной формуле Коши .

Сделаем замену :

2) В интеграле делаем полярную замену:

Из первого пункта получаем, что

Подставим в наш интеграл:

Теорема. (единственности) область в , , множество имеет предельную точку в . Тогда .

Доказательство. предельная точка для ,

ряд Тейлора для в ( открытый шар)

, где (по свойству степенных рядов)

(так как )

– противоречие; значит, в ряде Тейлора нет ненулевых членов, следовательно:

ломаная с началом в и концом в , а также набор кругов , ( радиус кругов, центры кругов)

Остался один вопрос: почему существует такая последовательность . Докажем её существание. Возьмём , и, так как , то и

будем выбирать так: , а остальные выберем так, чтобы . Тогда последовательность как раз нам подходит, так как изза неравенства .

Теорема. (принцип максимума модуля): область в , .

Доказательство. Разложим в ряд Тейлора в :

Рассмотрим два случая:

1)

2) , где первый ненулевой коэффициент, а функция ; открытый шар с центром в .

, то есть направление

и

(верно при малых )

Если , то

Получили, что найдётся точка, в которой модуль функции больше, чем в точке , противоречие. Значит, что по теореме единственности

Следствие 1. (локальный принцип максимума модуля) область в ,

Следствие 2. (принцип минимума модуля) область в ,

Доказательство. (из принципа единственности)

Следствие 3. ограниченная область в , .

Следствие 4. (граничная теорема единственности): ограниченная область в ,

Isbur (обсуждение) 00:41, 26 марта 2019 (UTC)