Теорема. (Лиувилль)
(такие функции называются целыми'') и
. Тогда
.
Доказательство.
, ряд сходится в
. Возьмём круг радиусом
с центром в 0, тогда
(по неравенству Коши) для коэфиициентов степенного ряда
, так как функция на
, а, следовательно, и на нашем круге, ограничена числом
. При
и при
, значит,
при
и от нашего ряда Тейлора остаётся всего лишь свободный член, то есть константа:
.
Теорема. (о среднем)
Доказательство. 1) По интегральной формуле Коши
.
Сделаем замену
:
2) В интеграле
делаем полярную замену:
Из первого пункта получаем, что
Подставим в наш интеграл:
Теорема. (единственности)
область в
,
, множество
имеет предельную точку в
. Тогда
.
Доказательство.
предельная точка для
,
ряд Тейлора для
в
(
открытый шар)
, где
(по свойству степенных рядов)
(так как
)
– противоречие; значит, в ряде Тейлора
нет ненулевых членов, следовательно:
ломаная
с началом в
и концом в
, а также набор кругов
,
(
радиус кругов,
центры кругов)


Остался один вопрос: почему существует такая последовательность
. Докажем её существание. Возьмём
, и, так как
, то
и
будем выбирать так:
, а остальные
выберем так, чтобы
. Тогда последовательность
как раз нам подходит, так как
изза неравенства
.
Теорема. (принцип максимума модуля):
область в
,
.
Доказательство. Разложим
в ряд Тейлора в
:
Рассмотрим два случая:
1)
2)
, где
первый ненулевой коэффициент, а функция
;
открытый шар с центром в
.
, то есть
направление
и
(верно при малых
)
Если
, то
Получили, что найдётся точка, в которой модуль функции больше, чем в точке
, противоречие. Значит, что 
по теореме единственности
Следствие 1. (локальный принцип максимума модуля)
область в
,
Следствие 2. (принцип минимума модуля)
область в
,
Доказательство.
(из принципа единственности)
Следствие 3.
ограниченная область в
,
.
Следствие 4. (граничная теорема единственности):
ограниченная область в
,
Isbur (обсуждение) 00:41, 26 марта 2019 (UTC)