Комплексный анализ I/Билеты/Степенные ряды

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определение.

Теорема. (Свойства степенных рядов)

1) сходятся в во всякой точке к функции ;

2) расходятся в любой точке

3) в точках может как сходиться, так и расходиться;

4)

5) (то есть наш ряд это ряд Тейлора для ).

Доказательство. 1) , значит,

, значит,

– геометрическая прогрессия со знаменателем , следовательно, сходится, а значит, сходится и ряд по признаку Вейерштрасса.

2) , значит,

, значит,

, значит, расходится из-за невыполнения необходимого признака сходимости рядов (общий член не стремится к нулю)

3) просто приведём примеры:

а) , окружность , все точки на этой окружности являются точками расходимости этого ряда, так как модуль общего члена этого ряда всегда равен единице и не стремится к нулю;

б) , окружность , все точки на этой окружности являются точками сходимости, так как модуль общего члена нашего ряда ограничен , а ряд сходится;

в) , окружность , точка 1 является точкой расходимости, так как ряд расходится, а остальные точки являются точками сходимости; докажем это. Параметризуем окружность , подставим в наш ряд:

Ряды и сходятся по признаку Дирихле: монотонно стремится к нулю, а частичные суммы и ограничены.

4) круг сходимости, , тогда :

Оценим эту сумму по модулю с помощью некоторых дополнительных оценок:

, значит,

Так как сколь угодно мало, а в силу оценки из первого пункта нашей теоремы, значит:

5)

Подставим , значит, .

Утверждение. (гдето в окрестности точки ), и мы раскладываем её в степенной ряд в точке , тогда радиус сходимости равен расстоянию от точки до ближайшей к ней точки неголоморфности функции .

Пример.

Из утверждения получаем, что радиус сходимости ряда Тейлора в нуле равен 1, то есть расстоянию от 0 до (); ряд Тейлора в точке 0:

Теорема. (неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда) (это значит, что голоморфна в чуть большем круге); , . Тогда

Доказательство.

Isbur (обсуждение) 00:40, 26 марта 2019 (UTC)