Комплексный анализ I/Билеты/Степенные ряды

Определение. ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$

Теорема. (Свойства степенных рядов)

1) сходятся в во всякой точке $z:|z-a|<R=\frac{1}{\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\left|C_n\right|}}$к функции $f(z)$;

2) расходятся в любой точке $z:|z-a|>R$

3) в точках $z:|z-a|=R$ может как сходиться, так и расходиться;

4) $f\in O(|z-a|<R)$

5) $C_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}$ (то есть наш ряд это ряд Тейлора для $f$).

Доказательство. 1) $|z-a|<R$, значит, $\mathrm{\exists }\epsilon >0:|z-a|<R-\epsilon$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\left|C_n\right|}=\frac{1}{R}<\frac{1}{R-\frac{\epsilon }{2}}$, значит, $\mathrm{\exists }M>0:\left|C_n\right|\le \frac{M}{{(R-\frac{\epsilon }{2})}^n}$

$|{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n|\le {\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\left|C_n\right||z-a{|}^n\le {\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}M\frac{(R-\epsilon {)}^n}{{(R-\frac{\epsilon }{2})}^n}={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}M{\left(\frac{R-\epsilon }{R-\frac{\epsilon }{2}}\right)}^n$ – геометрическая прогрессия со знаменателем $\frac{R-\epsilon }{R-\frac{\epsilon }{2}}<1$, следовательно, сходится, а значит, сходится и ряд ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$ по признаку Вейерштрасса.

2) $|z-a|>R$, значит, $\mathrm{\exists }\epsilon >0|z-a|>R+\epsilon$

$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\left|C_n\right|}=\frac{1}{R}>\frac{1}{R+\frac{\epsilon }{2}}$, значит, $\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{\left|C_n\right|}=\frac{1}{R}>\frac{1}{R+\frac{\epsilon }{2}}$

$\mathrm{\forall }k|C_{n_k}(z-a{)}^{n_k}|>\frac{(R+\epsilon {)}^{n_k}}{{(R+\frac{\epsilon }{2})}^{n_k}}>1$, значит, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$ расходится из-за невыполнения необходимого признака сходимости рядов (общий член не стремится к нулю)

3) просто приведём примеры:

а) ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{z}^n$, окружность $|z|=1$, все точки на этой окружности являются точками расходимости этого ряда, так как модуль общего члена этого ряда всегда равен единице и не стремится к нулю;

б) ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n^2}$, окружность $|z|=1$, все точки на этой окружности являются точками сходимости, так как модуль общего члена нашего ряда ограничен $\frac{1}{n^2}$, а ряд ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n^2}$ сходится;

в) ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}$, окружность $|z|=1$, точка 1 является точкой расходимости, так как ряд ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{n}$ расходится, а остальные точки являются точками сходимости; докажем это. Параметризуем окружность $z=e^{i\phi },\phi \ne 2\pi k,k\in Z$, подставим $z$ в наш ряд:

${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{z^n}{n}={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{e^{i\phi n}}{n}={\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos n\phi }{n}+i{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin n\phi }{n}$

Ряды ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\cos n\phi }{n}$ и ${\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\sin n\phi }{n}$ сходятся по признаку Дирихле: $\frac{1}{n}$ монотонно стремится к нулю, а частичные суммы ${\sum }_{n=1}^k\cos n\phi$ и ${\sum }_{n=1}^k\sin n\phi$ ограничены.

4) $R>0,|z-a|<R$ круг сходимости, ${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n=f(z)$, тогда $f^{\prime }(z)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{C}_n(z-a{)}^{n-1}$:

$\frac{f(z+h)-f(z)}{h}-{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}n{C}_n(z-a{)}^{n-1}={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(\frac{1}{h}((z+h-a{)}^n-(z-a{)}^n)-n(z-a{)}^{n-1})=$

$={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n[{\sum }_{k=0}^{n-1}(z+h-a{)}^k(z-a{)}^{n-k-1}-n(z-a{)}^{n-1}]=$

$={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n[{\sum }_{\genfrac{}{}{0ex}{}{k=0}{\mathrm{\infty }}}^{n-1}(z+h-a{)}^k(z-a{)}^{n-k-1}-{\sum }_{k=0}^{n-1}(z-a{)}^{n-1}]=$

$={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{\sum }_{k=0}^{n-1}(z-a{)}^{n-k-1}((z+h-a{)}^k-(z-a{)}^k)$

$={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{\sum }_{k=0}^{n-1}(z-a{)}^{n-k-1}h((z+h-a{)}^{k-1}+\cdots +(z-a{)}^{k-1})$

Оценим эту сумму по модулю с помощью некоторых дополнительных оценок:

$|z-a|<R$, значит, $\mathrm{\exists }\epsilon :|z-a|<R-\epsilon ,|z-a+h|<R-\epsilon$

Так как $h$ сколь угодно мало, а $\left|C_n\right|\le \frac{M}{{(R-\frac{\epsilon }{2})}^n}$ в силу оценки из первого пункта нашей теоремы, значит:

$|{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n{\sum }_{k=0}^{n-1}(z-a{)}^{n-k-1}h((z+h-a{)}^{k-1}+\cdots +(z-a{)}^{k-1})|\le$

$\le {\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{M}{{(R-\frac{\epsilon }{2})}^n}{\sum }_{k=0}^{n-1}(R-\epsilon {)}^{n-k-1}|h|k(R-\epsilon {)}^{k-1}=M|h|{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(R-\epsilon {)}^{n-2}}{{(R-\frac{\epsilon }{2})}^n}{\sum }_{k=0}^{n-1}k=$

$=M|h|{\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{(R-\epsilon {)}^{n-2}}{{(R-\frac{\epsilon }{2})}^n}\frac{n(n-1)}{2}=C(M,R,\epsilon )|h|\to 0\text{,}|h|\to 0$

5) $f^{(k)}(z)={({\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n)}^{(k)}={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{n!}{(n-k)!}{C}_n(z-a{)}^{n-k}$

Подставим $z=a:f^{(k)}(a)=k!C_k$, значит, $C_k=\frac{f^{(k)}(a)}{k!}$.

Утверждение. $f\in O$ (гдето в окрестности точки $a$), и мы раскладываем её в степенной ряд в точке $a$, тогда радиус сходимости равен расстоянию от точки $a$ до ближайшей к ней точки неголоморфности функции $f(z)$.

Пример. $f(z)=\frac{1}{z^2+1}\in O(ℂ\mathrm{\setminus }\{i,-i\})$

Из утверждения получаем, что радиус сходимости ряда Тейлора в нуле равен 1, то есть расстоянию от 0 до $i$ ($-i$); ряд Тейлора в точке 0:

$\frac{1}{z^2+1}={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}(-1{)}^n{z}^{2n}$

Теорема. (неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда) $⊐f\in O(|z-a|\le R)$ (это значит, что $f$ голоморфна в чуть большем круге); $f(z)={\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{C}_n(z-a{)}^n$, $M={max}_{|z-a|=R}|f(z)|$. Тогда $\left|C_n\right|\le \frac{M}{R^n}$

Доказательство. $C_n=\frac{f^{(n)}(a)}{n!}=\frac{1}{2\pi i}{\int }_{|z-a|<R}\frac{f(z)}{(z-a{)}^{n+1}}dz\le \frac{1}{2\pi }2\pi R\frac{M}{R^{n+1}}=\frac{M}{R^n}$

Isbur (обсуждение) 00:40, 26 марта 2019 (UTC)