Комплексный анализ I/Билеты/Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение

Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение. Пример: $\sin \pi z$.

Теорема. $⊐f\in O(ℂ),\{z:f(z)=0\}={\left\{a_n\right\}}_{n=1}^{\mathrm{\infty }}$ (каждый ноль берётся столько раз, какого он порядка). $0<\left|a_1\right|\le \left|a_2\right|\le \left|a_3\right|\le \cdots ,\lambda$ порядок нуля в 0. Тогда $\mathrm{\forall }{k}_n:{\sum }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left|\frac{z}{a_n}\right|}^{k_n+1}$сходится равномерно во всяком круге $\mathrm{\exists }g\in O(ℂ):f(z)=e^{g(z)}{z}^{\lambda }{\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[(1-\frac{z}{a_n})e^{\frac{z}{a_n}+\frac{z^2}{2a_n^2}+\cdots +\frac{z^n}{k_n{a}_n^{k_n}}}\right]$.

Доказательство. $P(z)=c{\prod }_{n=1}^N(z-a_n)=c^{\prime }{\prod }_{n=1}^N(1-\frac{z}{a_n})$

$a_n\ne 0$

$\ln (1-x)=-(x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+\cdots )$

${|\ln (1-\frac{z}{a_n})-(-{\sum }_{l=1}^{k_n}\frac{1}{l}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^l)|}_{|z|<\frac{\left|a_n\right|}{2}}=|-|-{\sum }_{l=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{l}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^l+{\sum }_{l=1}^{k_n}\frac{1}{l}{{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^l|}_{|z|<\frac{\left|a_n\right|}{2}}=$

$={|-{\sum }_{l=k_n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{l}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^l|}_{|z|<\frac{\left|a_n\right|}{2}}={\left|\frac{z}{a_n}\right|}^{k_n+1}{|-{\sum }_{l=k_n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{l}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^{l-k_n-1}|}_{|z|<\frac{\left|a_n\right|}{2}}<{\left|\frac{z_n|}{a_n|}\right|}^{k_n+1}{\sum }_{l=k_n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{l}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{l-k_n-1}$

${\sum }_{n=0}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=2,\frac{1}{l}<1$, значит

${\left|\frac{z}{a_n}\right|}^{k_n+1}{\sum }_{l=k_n+1}^{\mathrm{\infty }}\frac{1}{l}{\left(\frac{1}{2}\right)}^{l-k_n-1}<2{\left|\frac{Z}{a_n}\right|}^{k_n+1}$

$\mathrm{\forall }R>0\mathrm{\exists }N=N(R)\mathrm{\forall }n\ge N\frac{\left|a_n\right|}{2}>R$

$\mathrm{\forall }z:|z|\le R$

$\left|{\sum }_{n=N}^{\le \mathrm{\infty }}[\ln (1-\frac{z}{a_n})-(-{\sum }_{l=1}^{k_n}\frac{1}{l}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^l)]\right|\le {\sum }_{n=N}^{\le \mathrm{\infty }}2{\left|\frac{z}{a_n}\right|}^{k_n+1}$ сходится равномерно в $|z|\le R$ (по условию)

Тогда, по теореме о равномерной сходимости бесконечных произведений:

${\prod }_{n=N}^{\mathrm{\infty }}\left[(1-\frac{Z}{a_n})e^{{\sum }_{l=1}^{k_n}\frac{1}{l}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^l}\right]$ равномерно сходится в $|z|\le R$, значит

$h(z)={\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}\left[(1-\frac{Z}{a_n})e^{{\sum }_{l=1}^{k_n}}\frac{1}{l}{\left(\frac{z}{a_n}\right)}^l\right]$ равномерно сходится во всякой точке из $ℂ$, а хвосты сходятся равномерно внутри $ℂ$. Следовательно, $h(z)\in O(ℂ)$, и $h(z)$ те же нули, что и $f(z)$, кроме, может быть, нуля.

$\lambda$ порядок нуля в 0. Рассмотрим $\phi (z)=\frac{f(z)}{z^{\lambda }h(z)}\in O(ℂ)$. У $\phi$ нет нулей в $ℂ$. Осталось показать, что $\mathrm{\exists }g(z):\phi (z)=e^{g(z)}$.

$\frac{{\phi }^{\prime }}{\phi }$ голоморфна в $ℂ$, так как у $\phi$ нет нулей в $ℂ$. Значит, по теореме о существовании первообразной в односвязной области,

$\mathrm{\exists }g(z)={\int }_0^z\frac{{\phi }^{\prime }(\xi )}{\phi (\xi )}d\xi +\ln \phi (0)\in O(ℂ)$

${\left(\frac{e^g}{\phi }\right)}^{\prime }=\frac{e^g{g}^{\prime }\phi -e^g{g}^{\prime }}{{\phi }^2}\equiv 0$

$\frac{e^g}{\phi }\equiv \mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{s}\mathrm{t}$

$\begin{array}{c}g(0)=\ln \phi (0)\\ \frac{e^g}{\phi }(0)=1\\ \frac{e^g}{\phi }\equiv 1\\ \phi =e^g\end{array}$

Пример. $f(z)=\sin \pi z$

$\sin \pi Z=\pi z{\prod }_{n=1}^{\mathrm{\infty }}(1-\frac{z^2}{n^2})$

Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)