Комплексный анализ I/Билеты/Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение. Пример: .[править]

Теорема. (каждый ноль берётся столько раз, какого он порядка). порядок нуля в 0. Тогда сходится равномерно во всяком круге .

Доказательство.

, значит

сходится равномерно в (по условию)

Тогда, по теореме о равномерной сходимости бесконечных произведений:

равномерно сходится в , значит

равномерно сходится во всякой точке из , а хвосты сходятся равномерно внутри . Следовательно, , и те же нули, что и , кроме, может быть, нуля.

порядок нуля в 0. Рассмотрим . У нет нулей в . Осталось показать, что .

голоморфна в , так как у нет нулей в . Значит, по теореме о существовании первообразной в односвязной области,

Пример.

Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)