Комплексный анализ I/Билеты/Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение

Теорема Вейерштрасса о разложении целой функции в произведение. Пример: ${\textstyle \sin \pi z}$.

Теорема. ${\textstyle \sqsupset f\in O(\mathbb {C} ),\{z:f(z)=0\}=\left\{a_{n}\right\}_{n=1}^{\infty }}$ (каждый ноль берётся столько раз, какого он порядка). ${\textstyle 0<\left|a_{1}\right|\leq \left|a_{2}\right|\leq \left|a_{3}\right|\leq \cdots ,\lambda }$ порядок нуля в 0. Тогда ${\textstyle \forall k_{n}:\sum _{n=1}^{\infty }\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right|^{k_{n}+1}}$сходится равномерно во всяком круге ${\textstyle \exists g\in O(\mathbb {C} ):f(z)=e^{g(z)}z^{\lambda }\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)e^{{\frac {z}{a_{n}}}+{\frac {z^{2}}{2a_{n}^{2}}}+\cdots +{\frac {z^{n}}{k_{n}a_{n}^{k_{n}}}}}\right]}$.

Доказательство. ${\textstyle P(z)=c\prod _{n=1}^{N}\left(z-a_{n}\right)=c^{\prime }\prod _{n=1}^{N}\left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)}$

${\textstyle a_{n}\neq 0}$

${\textstyle \ln(1-x)=-\left(x+{\frac {x^{2}}{2}}+{\frac {x^{3}}{3}}+\cdots \right)}$

${\textstyle \left|\ln \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)-\left(-\sum _{l=1}^{k_{n}}{\frac {1}{l}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{l}\right)\right|_{|z|<{\frac {\left|a_{n}\right|}{2}}}=|-|-\sum _{l=1}^{\infty }{\frac {1}{l}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{l}+\sum _{l=1}^{k_{n}}{\frac {1}{l}}\left.\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{l}\right|_{|z|<{\frac {\left|a_{n}\right|}{2}}}=}$

${\textstyle =\left|-\sum _{l=k_{n}+1}^{\infty }{\frac {1}{l}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{l}\right|_{|z|<{\frac {\left|a_{n}\right|}{2}}}=\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right|^{k_{n}+1}\left|-\sum _{l=k_{n}+1}^{\infty }{\frac {1}{l}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{l-k_{n}-1}\right|_{|z|<{\frac {\left|a_{n}\right|}{2}}}<\left|{\frac {z_{n}|}{a_{n}|}}\right|^{k_{n}+1}\sum _{l=k_{n}+1}^{\infty }{\frac {1}{l}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{l-k_{n}-1}}$

${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}\right)^{n}=2,{\frac {1}{l}}<1}$, значит

${\textstyle \left|{\frac {z}{a_{n}}}\right|^{k_{n}+1}\sum _{l=k_{n}+1}^{\infty }{\frac {1}{l}}\left({\frac {1}{2}}\right)^{l-k_{n}-1}<2\left|{\frac {Z}{a_{n}}}\right|^{k_{n}+1}}$

${\textstyle \forall R>0\quad \exists N=N(R)\quad \forall n\geq N\quad {\frac {\left|a_{n}\right|}{2}}>R}$

${\textstyle \forall z:|z|\leq R}$

${\textstyle \left|\sum _{n=N}^{\leq \infty }\left[\ln \left(1-{\frac {z}{a_{n}}}\right)-\left(-\sum _{l=1}^{k_{n}}{\frac {1}{l}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{l}\right)\right]\right|\leq \sum _{n=N}^{\leq \infty }2\left|{\frac {z}{a_{n}}}\right|^{k_{n}+1}}$ сходится равномерно в ${\textstyle |z|\leq R}$ (по условию)

Тогда, по теореме о равномерной сходимости бесконечных произведений:

${\textstyle \prod _{n=N}^{\infty }\left[\left(1-{\frac {Z}{a_{n}}}\right)e^{\sum _{l=1}^{k_{n}}{\frac {1}{l}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{l}}\right]}$ равномерно сходится в ${\textstyle |z|\leq R}$, значит

${\textstyle h(z)=\prod _{n=1}^{\infty }\left[\left(1-{\frac {Z}{a_{n}}}\right)e^{\sum _{l=1}^{k_{n}}}{\frac {1}{l}}\left({\frac {z}{a_{n}}}\right)^{l}\right]}$ равномерно сходится во всякой точке из ${\textstyle \mathbb {C} }$, а хвосты сходятся равномерно внутри ${\textstyle \mathbb {C} }$. Следовательно, ${\textstyle h(z)\in O(\mathbb {C} )}$, и ${\textstyle h(z)}$ те же нули, что и ${\textstyle f(z)}$, кроме, может быть, нуля.

${\textstyle \lambda }$ порядок нуля в 0. Рассмотрим ${\textstyle \varphi (z)={\frac {f(z)}{z^{\lambda }h(z)}}\in O(\mathbb {C} )}$. У ${\textstyle \varphi }$ нет нулей в ${\textstyle \mathbb {C} }$. Осталось показать, что ${\textstyle \exists g(z):\varphi (z)=e^{g(z)}}$.

${\textstyle {\frac {\varphi ^{\prime }}{\varphi }}}$ голоморфна в ${\textstyle \mathbb {C} }$, так как у ${\textstyle \varphi }$ нет нулей в ${\textstyle \mathbb {C} }$. Значит, по теореме о существовании первообразной в односвязной области,

${\textstyle \exists g(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\varphi ^{\prime }(\xi )}{\varphi (\xi )}}d\xi +\ln \varphi (0)\in O(\mathbb {C} )}$

${\textstyle \left({\frac {e^{g}}{\varphi }}\right)^{\prime }={\frac {e^{g}g^{\prime }\varphi -e^{g}g^{\prime }}{\varphi ^{2}}}\equiv 0}$

${\textstyle {\frac {e^{g}}{\varphi }}\equiv \mathrm {const} }$

${\textstyle {\begin{array}{c}{g(0)=\ln \varphi (0)}\\{{\frac {e^{g}}{\varphi }}(0)=1}\\{{\frac {e^{g}}{\varphi }}\equiv 1}\\{\varphi =e^{g}}\end{array}}}$

Пример. ${\textstyle f(z)=\sin \pi z}$

${\textstyle \sin \pi Z=\pi z\prod _{n=1}^{\infty }\left(1-{\frac {z^{2}}{n^{2}}}\right)}$

Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)