Комплексный анализ I/Билеты/Теорема Миттаг-Леффлера

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Разложение мероморфной функции в сумму целой функции и ряда из разностей главных частей рядов Лорана и многочленов. Теорема Миттаг-Леффлера.[править]

Теорема. с полюсами в и главными частями рядов Лорана такая и такие многочлены , и хвост этого ряда сходится равномерно внутри .

Доказательство.

в качестве берём такой начальный кусочек ряда Тейлора в 0, что

Тогда на круге

Так как этот хвост сходится равномерно на этом круге, то сходится равномерно на , и хвосты ряда сходятся равномерно;

Теорема. (Миттаг-Леффлер)

имеет полюсы именно в и в них её главные части рядов Лорана равны именно .

Доказательство.

Возьмём как в предыдущей теоремет – начальный кусочек ряда Тейлора:

сходится в , хвосты сходятся равномерно внутри (по теореме Вейерштрасса).

Значит, искомая функция.

Isbur (обсуждение) 16:08, 26 марта 2019 (UTC)