Комплексный анализ I/Билеты/Теоремы Рунге

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Теорема. (первая теорема Рунгe) (то есть , открытое множество, содержащее ). Тогда – рациональная функция такая, что , и полюсы (то есть нули ) можно соединить с непрерывными кривыми, не пересекающими .

Доказательство. открытое покрытие конечное подпокрытие .

составной жорданов кусочногладкий контур

Пусть простые жордановы контуры, образующие , тогда

В этой сумме можно не писать интегральные суммы по , являющимся внутренними контурами некоторого и внутренность которых лежит в : , так как , , точки разбиения .

Также

Обозначим через дугу от точки до точки .

Оценим разность слагаемых из суммы для и для .

разбиение:

(из за равномерной непрерывности на компакте )

Следовательно,

Введём дополнительное условие :

Полюсы точки – можно соединить непрерывными кривыми, не пересекающими , с .

Лемма. (о выводе полюсов) , кривая с началом и концом , .

функция с любой точностью равномерно на приближается суммами .

Доказательство.

Возьмём разбиение

,

значит:

ряд сходится равномерно на

Таким образом, с любой точностью равномерно на приближается суммами ;

аналогично, с любой точностью равномерно на приближается суммами ;

значит, с любой точностью равномерно на приближается суммами ;

значит, с любой точностью равномерно на приближается суммами ;

Рассуждая аналогично, можно доказать, что с любой точностью равномерно на приближается суммами , и так далее. В итоге, за конечное число шагов дойдём до того,что с любой точностью равномерно на приближается суммами .

Следствие 1. В первой теореме Рунге полюсы приближающих рациональных функций можно брать и вне .

Доказательство. Следует из второй части теоремы Рунге и леммы.

Следствие 2. область, внутри ( рациональные функции).

Доказательство. Берём набор компактов, исчерпывающих :

Из следствия 1 рациональные функции и полюсы лежат вне . Следовательно, внутри .

Следствие 3. (философское): сепарабельное полное метрическое пространство.

Определение. Сепарабельное множество множество, в котором есть счётное всюду плотное подмножество.

Доказательство.

Все не лежат в , все имеют рациональноые действительную и мнимую части. Раз все не лежат в , . Такие плотны в в силу следствия 2.

Теорема. (вторая теорема Рунге) связно, (то есть в нет дырок), , то есть - открытое множество, содержащее .

- многочлен такой, что .

Доказательство по первой теореме Рунге, точнее, из первого следствия из неё, рациональная функция с полюсами вне .

Возьмём огромный круг с центром в нуле, содержащий все полюсы и . не лежит в ; по лемме о выводе полюсов с полюсом в точке :

Пусть частичная сумма ряда Тейлора для такая, что

Следствие. односвязная область, , тогда последовательность многочленов, что внутри .

Доказательство. односвязную область можно исчерпать компактами. связны,по второй теореме Рунге внутри .

Isbur (обсуждение) 16:06, 26 марта 2019 (UTC)