Линейные операции над векторами

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску
Эта статья — часть материалов: курса Аналитическая геометрия

Сложение векторов[править]

Параллельный перенос

Под параллельным переносом вдоль вектора понимают перемещение всех точек пространства в одном направлении на одинаковое расстояние. Определим сложение векторов так, чтобы последовательные сдвиги вдоль двух векторов соответствовали сдвигу вдоль суммы этих векторов.

Пусть даны два вектора и . Приложим вектор к некоторой точке , получим . Приложим вектор к точке , получим . Тогда вектор будем называть суммой векторов: .

Равенство векторов.PNG

Докажем, что данное определение не зависит от выбора точки .

Приложим вектор к другой точке , получим . Приложим вектор к точке , получим .

Рассмотрим направленные отрезки и . Они, очевидно, равны (см. рис.), поскольку — параллелограмм.

Умножение на число[править]

Произведением вектора на число называется вектор, который:

  1. коллинеарен вектору ;
  2. сонаправлен ему, если , или противоположнонаправлен, если ;
  3. длины связаны следующим соотношением: .

Данное определение согласовано с определением сложения:

для любого натурального .

Свойства линейных операций[править]

Коммутативность сложения векторов
Ассоциативность сложения векторов

Сложение векторов коммутативно: .

Сложение векторов ассоциативно: .

Прибавление нулевого вектора к любому не меняет последнего: . Очевидно, .

Для любого вектора существует вектор такой, что или .

Умножение вектора на число ассоциативно: . Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения чисел: .

Доказательство сводится к перечислению всех возможных знаков и , в каждом случае утверждение очевидно.

Дистрибутивность умножения векторов относительно сложения

Умножение вектора на число дистрибутивно относительно сложения векторов: . Это следует из подобия треугольников и на рисунке.

Очевидно, умножение на единицу не меняет вектор: .

Примечание[править]

В алгебре изучаются так называемые алгебраические структуры. Это множества математических объектов, для которых определены некоторые операции, удовлетворяющие некоторым системам аксиом.
Пример такой структуры, изучаемой в линейной алгебре, — так называемое векторное (линейное) пространство. Это множество векторов, для которых определены операции сложения и умножения на элементы некоторого поля (например, поля вещественных чисел), причем эти операции удовлетворяют указанным выше свойствам.
В линейной алгебре изучаются общие свойства таких множеств, их элементы (их называют абстрактными векторами) не обязаны быть геометрическими векторами (хотя чаще всего именно их приводят в качестве наглядного примера).
В аналитической геометрии векторы нужны, в первую очередь для введения системы координат (см. ниже). Благодаря этому удается описать геометрические фигуры при помощи аналитических формул.

Линейные комбинации[править]

Линейная комбинация векторов с коэффициентами — вектор . Если все коэффициенты равны нулю, линейную комбинацию называют тривиальной, иначе — нетривиальной.

Векторы называются линейно зависимыми, если существует их нетривиальная комбинация, равная нулю.


Теорема

Система векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда один из векторов является линейной комбинацией остальных.



Геометрический смысл линейной зависимости заключается в следующем:

  1. система из двух векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы коллинеарны;
  2. система из трех векторов линейно зависима тогда и только тогда, когда векторы компланарны;
  3. всякие четыре вектора линейно зависимы.

Смотри также[править]

Задачи