Линейные операции над векторами/Задачи

Примеры решения задач

Пример 1

Векторы $\overrightarrow{AC}=𝐚$ и $\overrightarrow{BD}=𝐛$ являются диагоналями параллелограмма $ABCD$. Выразить векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$ через векторы $𝐚$ и $𝐛$.

По определению сложения

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BD}$

По свойствам параллелограмма

$\overrightarrow{AB}=-\overrightarrow{BA}$

$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AD}$

Тогда

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=𝐚$

$-\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=𝐛$

Откуда

$\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(𝐚-𝐛)$

$\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}(𝐚+𝐛)$

По свойствам параллелограмма

$\overrightarrow{CD}=-\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}(𝐛-𝐚)$

$\overrightarrow{DA}=-\overrightarrow{BC}=-\frac{1}{2}(𝐚+𝐛)$

Пример 2

В треугольнике $\mathrm{△}ABC$ проведены медианы $AD$, $BE$ и $CF$. Представить векторы $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}$ и $\overrightarrow{CF}$ в виде линейных комбинаций векторов $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$.

Найдём вектор $\overrightarrow{BC}$.

$\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}$ откуда $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}-\overrightarrow{AB}$

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{BC}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}=-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$

$\overrightarrow{CF}=\overrightarrow{CA}+\overrightarrow{AF}=-\overrightarrow{AC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}$

Пример 3

Дан тетраэдр $OABC$. Выразить вектор $\overrightarrow{EF}$ через стороны $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$. Точка $E$ -- середина ребра $OA$, $F$ -- середина ребра $BC$.

Найдём вектор $\overrightarrow{CB}$.

$\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}$ откуда $\overrightarrow{CB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC}$

Очевидно,

$\begin{array}{cc}\overrightarrow{EF}& =\overrightarrow{EO}+\overrightarrow{OC}+\overrightarrow{CF}=\frac{1}{2}\overrightarrow{AO}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}\overrightarrow{CB}=-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OC}+\frac{1}{2}(\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OC})=\\ & =-\frac{1}{2}\overrightarrow{OA}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{OC}\end{array}$

Задачи для самостоятельного решения

Если вы хотите, чтобы ваше решение проверил преподаватель факультета математики, пожалуйста, оформите решение в своём личном пространстве и дайте ссылку на него на странице обсуждения.

1. Точки $K$ и $L$ -- середины сторон $BC$ и $CD$ параллелограмма $ABCD$. Выразить векторы $\overrightarrow{BC}$ и $\overrightarrow{CD}$ через векторы $\overrightarrow{AK}$, $\overrightarrow{AL}$.
2. В трапеции $ABCD$ отношение $\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\lambda$. Обозначив $\overrightarrow{AC}=𝐚$ и $\overrightarrow{BD}=𝐛$, выразить векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$ и $\overrightarrow{DA}$ через $𝐚$ и $𝐛$.
3. В трапеции $ABCD$ отношение $\frac{|\overrightarrow{AD}|}{|\overrightarrow{BC}|}=\lambda$. Обозначив $\overrightarrow{AD}=𝐚$ и $\overrightarrow{AB}=𝐛$, выразить векторы $\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{BC}$, $\overrightarrow{CD}$, $\overrightarrow{DA}$, $\overrightarrow{AC}$ и $\overrightarrow{BD}$ через $𝐚$ и $𝐛$.
4. В треугольнике $\mathrm{△}ABC$ проведены медианы $AD$, $BE$ и $CF$. Найти сумму векторов $\overrightarrow{AD}$, $\overrightarrow{BE}$ и $\overrightarrow{CF}$.
5. В плоскости треугольника $\mathrm{△}ABC$ найти такую точку $M$, что $\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}+\overrightarrow{MC}=\mathrm{𝟎}$.
6. Дан тетраэдр $OABC$. Выразить вектор $\overrightarrow{EF}$ через стороны $\overrightarrow{OA}$, $\overrightarrow{OB}$ и $\overrightarrow{OC}$. Точка $E$ -- середина ребра $OA$, $F$ -- точка пересечения медиан треугольника $\mathrm{△}ABC$.