Определённый интеграл

Определенный интеграл Римана. Основные свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.

Пусть $f(x)$ определена на отрезке $[a,b]$. Делим отрезок $[a,b]$ на $n$ частей с помощью точек $x_1,\dots ,x_{n-1}$, где $a=x_0<x_1<\dots <x_{n-1}<x_n=b$. Множество точек $\tau =\{x_i{\}}_{i=0}^n$ называется разбиением отрезка $[a,b]$. Обозначим $\mathrm{\Delta }{x}_i=x_i-x_{i-1}$ - длина отрезка $[x_{i-1},x_i]$. Обозначим $\lambda =maxi=\overline{1,n}\mathrm{\Delta }{x}_i$ - параметр разбиения $\tau$.

На каждом частичном отрезке $[x_{i-1},x_i]$ выберем произвольно точку ${\xi }_i\in [x_{i-1},x_i]$.

Составим интегральную сумму для функции $f$, соответствующую разбиению $\tau :{\sigma }_{\tau }(f)=\sum f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$

Определение. Если $\mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}{\sigma }_{\tau }(f)$, не зависящий от разбиения $\tau$ и точек ${\xi }_i$, то этот предел называется определенным интегралом от функции $f$ на отрезке $[a,b]$. Обозначаем ${\int }_a^{b}f(x)dx$

Нижняя и верхняя суммы Дарбу

Пусть $f(x)$ определен на $[a,b]$ рассмотрим $\mathrm{\forall }$ разбиение $\tau =\{x_i{\}}_{i=0}^n$ отрезка $[a,b]$. Обозначим: $M_i=\underset{[x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)$, $m_i=\underset{[x_{i-1},x_i]}{inf}f(x),i=\overline{1,n}$

$s_{\tau }=\sum _{i=1}^n{m}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$ - нижняя сумма Дарбу для $f(x)$ на $[a,b]$. $S_{\tau }=\sum _{i=1}^n{M}_i\mathrm{\Delta }{x}_i$ - верхняя сумма Дарбу.

Критерий интегрируемости

Теорема. Пусть функция $f(x)$ ограничена на $[a,b]$, тогда функция $f(x)$ интегрируема на $[a,b]\iff \mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}(S_{\tau }-s_{\tau })=0$

Доказательство.

($\Rightarrow$)Пусть $f$ интегрируема на $[a,b]\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}{\sigma }_{\tau }(f)=I$. Фиксируем $\mathrm{\forall }\epsilon >0$. Для $\frac{\epsilon }{3}>0\mathrm{\exists }\delta >0:\mathrm{\forall }\tau :|\lambda |<\delta \Rightarrow |{\sigma }_{\tau }(f)-I|<\frac{\epsilon }{3}\Rightarrow I-\frac{\epsilon }{3}<{\sigma }_{\tau }(f)<I+\frac{\epsilon }{3}$, $\mathrm{\forall }\tau :|\lambda |<\delta$

для $\mathrm{\forall }\tau :|\lambda |<\delta \underset{\{{\xi }_1,\mathrm{...},{\xi }_n\}}{sup}{\sigma }_{\tau }(f)\le I+\frac{\epsilon }{3}\Rightarrow S_{\tau }\le I+\frac{\epsilon }{3}$

аналогично: $s_{\tau }>I-\frac{\epsilon }{3};\mathrm{\forall }\tau :|\lambda |<\delta$

$0\le S_{\tau }-s_{\tau }\le \frac{2\epsilon }{3}<\epsilon \Rightarrow |S_{\tau }-s_{\tau }|<\epsilon ;\mathrm{\forall }\tau :|\lambda |<\epsilon \Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}(S_{\tau }-s_{\tau })=0$

($\Leftarrow$) $\mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}(S_{\tau }-s_{\tau })=0$

$f$ - ограничена на $[a,b]\Rightarrow s_{\tau }\le \underset{\_}{I}\le \bar{I}\le S_{\tau }=0\mathrm{\forall }\tau \Rightarrow \begin{array}{ccc}0\leftarrow [rd]& \le \bar{I}-\underset{\_}{I}\le & S_{\tau }-s_{\tau }\leftarrow [ld]\\ & 0& \end{array}\mathrm{\forall }\tau \Rightarrow \mathrm{\exists }lim(\bar{I}-\underset{\_}{I})=0\Rightarrow \bar{I}-\underset{\_}{I}=0\Rightarrow \bar{I}=\underset{\_}{I}=I$ (обозначим)

$s_{\tau }\le I\le S_{\tau }\mathrm{\forall }\tau \Rightarrow 0\le I-s_{\tau }\le S_{\tau }-s_{\tau }\mathrm{\forall }\tau \Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}(I-s_{\tau })=0\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}{s}_{\tau }=I$

$0\le S_{\tau }-I\le S_{\tau }-s_{\tau }\mathrm{\forall }\tau \Rightarrow \mathrm{\exists }lim(S_{\tau }-I)=0\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}{S}_{\tau }=I$

$\begin{array}{ccc}{s}_{\tau }\leftarrow [rd]& \le {\sigma }_{\tau }(f)\le & S_{\tau }\leftarrow [ld]\\ & I& \end{array}\Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}{\sigma }_{\tau }(f)=I\Rightarrow f$ интегрируема.

Теорема. Если функция $f$ непрерывна на $[a,b]$, то $f$ интегрируема на $[a,b]$

Доказательство. $f$ - непрерывна на $[a,b]\Rightarrow f$ - ограничена на $[a,b]$, $f$ - равномерно непрерывна на $[a,b]$

Фиксируем $\mathrm{\forall }\epsilon >0$

для $\frac{\epsilon }{b-a}>0\mathrm{\exists }\delta >0\mathrm{\forall }\xi ,\eta \in [a,b]|\xi -\eta |<\delta ,|f(\xi )-f(\eta )|<\frac{\epsilon }{b-a}$

Рассмотрим $\mathrm{\forall }\tau =\{x_i{\}}_{i=0}^n$ отрезка $[a,b]$. $f$ непрерывна на $[a,b]\Rightarrow f$ непрерывна на $\mathrm{\forall }[x_{i-1},x_i]i=\overline{1,n}\Rightarrow \mathrm{\exists }{\xi }_i,{\eta }_i\in [x_{i-1},x_i]:f({\xi }_i)=\underset{[x_{i-1},x_i]}{inf}f(x)=m_i$; $f({\eta }_i)=\underset{[x_{i-1},x_i]}{sup}f(x)=M_i$, $\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$

Рассмотрим $S_{\tau }-s_{\tau }=\sum (M_i-m_i)\mathrm{\Delta }{x}_i=\sum (f({\eta }_i)-f({\xi }_i))\mathrm{\Delta }{x}_i$

Пусть $\lambda <\delta \Rightarrow \mathrm{\Delta }{x}_i<\delta \mathrm{\forall }i=\overline{1,n}\Rightarrow |{\xi }_i-{\eta }_i|<\delta ,\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}\Rightarrow |f({\xi }_i)-f({\eta }_i)|<\frac{\epsilon }{b-a},\mathrm{\forall }i=\overline{1,n}$ $\Rightarrow S_{\tau }-s_{\tau }<\frac{\epsilon }{b-a}\sum \mathrm{\Delta }{x}_i=\epsilon \Rightarrow 0<S_{\tau }-s_{\tau }<\epsilon$, $\mathrm{\forall }\tau :\lambda <\delta \Rightarrow \mathrm{\exists }\underset{\lambda \to 0}{lim}(S_{\tau }-s_{\tau })=0\Rightarrow f$ интегрируема на $[a,b]$

Свойства интегрируемых функций

1. ${\int }_a^{b}dx=b-a$
2. $f(x),g(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$, тогда $[f(x)+g(x)]$ - интегрируемы на $[a,b]$ и справедливо: ${\int }_a^b(f(x)+g(x))dx={\int }_a^{b}f(x)dx+{\int }_a^{b}g(x)dx$
3. $f(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$, тогда $(k\cdot f(x))$ интегрируема на $[a,b]$ и справедливо: ${\int }_a^{b}kf(x)dx=k{\int }_a^{b}f(x)dx$
4. $f(x)$ - интегрируема на $[a,c]$ и $[c,b]$, тогда $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ и справедливо: ${\int }_a^{b}f(x)dx={\int }_a^{c}f(x)dx+{\int }_c^{b}f(x)dx$
5. $f(x)$ и $g(x)$ - интегрируемы на $[a,b]$, $f(x)\le g(x),\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ тогда: ${\int }_a^{b}f(x)dx\le {\int }_a^{b}g(x)dx$
6. $f(x)$ - интегрируема на $[a,b]$, тогда $|f(x)|$ - интегрируема на $[a,b]$ и: $|{\int }_a^{b}f(x)dx|\le {\int }_a^b|f(x)|dx$

Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.

Пусть $f(x)$ - интегрируема на $[a,b]$, тогда $f$ интегрируема на $\mathrm{\forall }[a,x]\subset [a,b]$. Обозначим $F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$, $x\in [a,b]$. Функция $F(x)$ называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства $F(x)$

Теорема. Пусть $f(x)$ интегрируема на $[a,b]$ тогда $F(x)$ непрерывна на $[a,b]$

Доказательство. Фиксируем $\mathrm{\forall }x\in [a,b]$ и рассмотрим $\mathrm{\Delta }x:(x+\mathrm{\Delta }x)\in [a,b]\Rightarrow F(x+\mathrm{\Delta }x)-F(x)={\int }_a^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)dt-{\int }_a^{x}f(t)dt={\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)dt\Rightarrow |\mathrm{\Delta }F(x)|=|{\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)dt|$

$f$ интегрируема на $[a,b]\Rightarrow f$ ограничена на $[a,b]\Rightarrow \mathrm{\exists }M>0:|f(t)|\le M$, $\mathrm{\forall }t\in [a,b]\Rightarrow |f(t)|\le M$, $\mathrm{\forall }t\in [x,x+\mathrm{\Delta }x]\Rightarrow |{\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}f(t)dt|\le |{\int }_x^{x+\mathrm{\Delta }x}|f(t)|dt|\le M\mathrm{\Delta }x$; $0\le |\mathrm{\Delta }F(x)|\le M\mathrm{\Delta }x$

Если $\mathrm{\Delta }x\to 0$, то $\mathrm{\exists }\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}(\mathrm{\Delta }F(x))=0\Rightarrow F$ непрерывна в точке $x$

Теорема. Пусть $f$ интегрируема на $[a,b]$ и непрерывна в точке $x_0\in [a,b]$, тогда $F(x)$ дифференцируема в точке $x_0$ и ${F^{\prime }(x)|}_{x_0}=f(x_0)$

Доказательство. Рассмотрим $\mathrm{\Delta }x:(x_0+\mathrm{\Delta }x)\in [a,b]\Rightarrow$

$\frac{F(x_0+\mathrm{\Delta }x)-F(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}{\int }_{x_0}^{x_0+\mathrm{\Delta }x}f(t)dt=\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}{\int }_{x_0}^{x_0+\mathrm{\Delta }x}(f(t)-f(x_0))dt+$

$+\frac{1}{\mathrm{\Delta }x}{\int }_{x_0}^{x_0+\mathrm{\Delta }x}f(x_0)dt=I+f(x_0)$

Докажем, что $\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}I=0$. Фиксируем $\mathrm{\forall }\epsilon >0$

Функция $f$ - непрерывна в точке $x_0\Rightarrow$ для $\epsilon >0\mathrm{\exists }\delta >0:|\mathrm{\Delta }x|<\delta |f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)|<\epsilon$.

$t\in [x_0,x_0+\mathrm{\Delta }x]\Rightarrow |t-x_0|\le |\mathrm{\Delta }x|\le \delta \Rightarrow |f(t)-f(x_0)|<\epsilon \Rightarrow |I|=\frac{1}{|\mathrm{\Delta }x|}|{\int }_{x_0}^{x_0+\mathrm{\Delta }x}(f(t)-f(x_0))dt|\le \frac{1}{\mathrm{\Delta }x}|{\int }_{x_0}^{x_0+\mathrm{\Delta }x}|f(t)-f(x_0)|dt|<\frac{\epsilon }{\mathrm{\Delta }x}|{\int }_{x_0}^{x_0+\mathrm{\Delta }x}dx|=\epsilon \Rightarrow \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}I=0\Rightarrow \mathrm{\exists }lim\frac{\mathrm{\Delta }F(x_0)}{\mathrm{\Delta }x}=f(x_0)\Rightarrow \mathrm{\exists }{F^{\prime }(x)|}_{x_0}=f(x)$

Формула Ньютона-Лейбница

Теорема (формула Ньютона-Лейбница).  Пусть $f$ - непрерывна на $[a,b]\Rightarrow$ $\mathrm{\Phi }(x)$ - первообразная функции $f$ на $[a,b]$. Тогда ${\int }_a^{b}f(x)dx=\mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a)$

Доказательство. $f$ - непрерывна на $[a,b]\Rightarrow F(x)={\int }_a^{x}f(t)dt$ - первообразная $f(x)$ на $[a,b]$ так как $\mathrm{\Phi }$ тоже первообразная $f(x)$ на $[a,b]\Rightarrow F(x)-\mathrm{\Phi }(x)=C\mathrm{\forall }x\in [a,b]\Rightarrow {\int }_a^{x}f(t)=\mathrm{\Phi }(x)+C,\mathrm{\forall }x\in [a,b]$.

при $x=a$: $\mathrm{\Phi }(a)+C=0\Rightarrow C=-\mathrm{\Phi }(a)\Rightarrow {\int }_a^{x}f(t)dt=\mathrm{\Phi }(x)-\mathrm{\Phi }(a),\mathrm{\forall }x\in [a,b]$

при $x=b$ : ${\int }_a^{b}f(t)dt=\mathrm{\Phi }(b)-\mathrm{\Phi }(a)$.