Определённый интеграл

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Определенный интеграл Римана. Основные свойства. Критерий интегрируемости. Интегрируемость непрерывной на отрезке функции.[править]

Пусть определена на отрезке . Делим отрезок на частей с помощью точек , где . Множество точек называется разбиением отрезка . Обозначим - длина отрезка . Обозначим - параметр разбиения .

На каждом частичном отрезке выберем произвольно точку .

Составим интегральную сумму для функции , соответствующую разбиению

Определение. Если , не зависящий от разбиения и точек , то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке . Обозначаем


Нижняя и верхняя суммы Дарбу[править]

Пусть определен на рассмотрим разбиение отрезка . Обозначим: ,

- нижняя сумма Дарбу для на . - верхняя сумма Дарбу.

Критерий интегрируемости[править]

Теорема. Пусть функция ограничена на , тогда функция интегрируема на
Доказательство.

()Пусть интегрируема на . Фиксируем . Для ,

для

аналогично:

()

- ограничена на (обозначим)

интегрируема.


Теорема. Если функция непрерывна на , то интегрируема на
Доказательство. - непрерывна на - ограничена на , - равномерно непрерывна на

Фиксируем

для

Рассмотрим отрезка . непрерывна на непрерывна на ; ,

Рассмотрим

Пусть , интегрируема на


Свойства интегрируемых функций[править]

  1. - интегрируемы на , тогда - интегрируемы на и справедливо:
  2. - интегрируемы на , тогда интегрируема на и справедливо:
  3. - интегрируема на и , тогда интегрируема на и справедливо:
  4. и - интегрируемы на , тогда:
  5. - интегрируема на , тогда - интегрируема на и:

Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.[править]

Пусть - интегрируема на , тогда интегрируема на . Обозначим , . Функция называется интегралом с переменным верхним пределом.

Свойства [править]

Теорема. Пусть интегрируема на тогда непрерывна на
Доказательство. Фиксируем и рассмотрим

интегрируема на ограничена на , , ;

Если , то непрерывна в точке


Теорема. Пусть интегрируема на и непрерывна в точке , тогда дифференцируема в точке и
Доказательство. Рассмотрим

Докажем, что . Фиксируем

Функция - непрерывна в точке для .


Формула Ньютона-Лейбница[править]

Теорема (формула Ньютона-Лейбница).  Пусть - непрерывна на - первообразная функции на . Тогда
Доказательство. - непрерывна на - первообразная на так как тоже первообразная на .

при :

при  : .