Основы математического анализа

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

Я уверился в той истине, что понятия не должны приобретаться навыком,
но должны быть переданы с первого раза во всей их обширности, с точностью, ясностью и определённостью;
а потом уже утверждаться упражнением, чтоб могли через то глубже напечатлеться в памяти
и с лёгкостью быть применяемы в дальнейших исследованиях.

Н. И. Лобачевский

История математического анализа[править]

Вещественные (действительные) числа[править]

Аксиоматика множества действительных чисел (аксиомы поля, линейного порядка, аксиома полноты, аксиомы, связывающие сложение и порядок, умножение и порядок). Алгебраические свойства действительных чисел.

Теорема о существовании и единственности точной грани непустого ограниченного числового множества.

Числовая прямая. Определение действительного числа по Коши, Дедекинду. Теорема Коши-Кантора о последовательности вложенных сегментов. Сегментное определение действительных чисел.

Покрытие множества. Теорема Бореля-Лебега о возможности выбора конечного подпокрытия всякого покрытия отрезка интервалами.

Предельная точка числового множества. Теорема Больцано-Вейерштрасса о существовании предельной точки ограниченного числового множества.

Предел последовательности[править]

Последовательность, подпоследовательность. Предел числовой последовательности, сходящаяся последовательность. Свойства пределов последовательностей.

Критерий Коши сходимости последовательности. Теорема Вейерштрасса о существовании предела монотонной ограниченной последовательности.

Функции[править]

Функция. Композиция функций. Обратная функция.

Предел функции[править]

Предел функции, свойства пределов. Вопросы существования предела функции, теорема о пределе композиции функций. Замечательные пределы.

Непрерывные функции[править]

Непрерывность функции в точке. Точки разрыва. Локальные свойства непрерывных функций. Свойства функции, непрерывной на отрезке принимать промежуточные значения, быть ограниченной, достигать своих точных граней. Равномерная непрерывность функции.

Дифференциальное исчисление[править]

Производные, дифференциалы[править]

Производные и дифференциалы, их геометрический смысл. Основные правила дифференцирования: дифференцирование и арифметические операции, дифференцирование композиции функций, дифференцирование обратной функции, таблица производных элементарных функций. Теорема Лагранжа о конечном приращении и ее следствия. Формула Тейлора, правило Лопиталя. Применение к приближенным вычислениям. Исследование функций методами дифференциального исчисления и построение графиков.

Интегральное исчисление[править]

Неопределённый интеграл[править]

Неопределённый интеграл. Условия интегрируемости функции. Интегрирование некоторых элементарных функций. Основные правила интегрирования, интегрирование путём замены переменных, по частям.

Определённый интеграл[править]

Интегральная сумма, определённый интеграл. Классы интегрируемых функций. Свойства определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Приложения определённого интеграла. Понятие о несобственных интегралах. Интегральный признак сходимости числовых рядов.

Геометрические и физические приложения определённого интеграла[править]

Длина дуги кривой. Площадь плоской фигуры. Объём тела. Площадь поверхности.

Некоторые физические приложения определённого интеграла.

Ряды[править]

Числовые ряды[править]

Числовой ряд, частичная сумма, сходимость ряда, сумма ряда. Необходимое условие сходимости числового ряда. Критерий Коши сходимости ряда.

Ряды с неотрицательными членами, критерий сходимости таких рядов, теорема сравнения.

Абсолютная и условная сходимости рядов. Признак Вейерштрасса абсолютной сходимости ряда, признаки Коши и Даламбера. Сочетательное и переместительное свойства абсолютно сходящихся рядов.

Функциональные последовательности и ряды[править]

Функциональный ряд и его область сходимости. Равномерная сходимость ряда. Критерий Коши равномерной сходимости, признак Вейерштрасса. Непрерывность суммы равномерно сходящегося ряда непрерывных функций. Почленное дифференцирование и интегрирование рядов.

Степенные ряды[править]

Степенные ряды. Радиус и область сходимости степенного ряда. Степенной ряд как ряд Тейлора. Разложение в ряд Тейлора показательной и основных тригонометрических функций, логарифмический ряд, биномиальный ряд.

Ряды Фурье[править]

Ряды Фурье. Сходимость рядов Фурье в среднем. Достаточные условия равномерной сходимости рядов Фурье.

Рекомендуемая литература[править]

В данном разделе указаны печатные издания и интернет-ресурсы.