Материал из Викиверситета
Определение. Последовательность не возрастает(не убывает), если для .
Определение. Последовательность возрастает (убывает), если для .
Определение. Строго возрастающая или строго убывающая последовательность называется монотонной последовательностью.
Теорема. Если - не убывает и ограничена сверху, то она сходится. Если - не возрастает и ограничена снизу, то она сходится.
Доказательство. При выполнении условия теоремы последовательность ограничена.
В силу ограниченности ,
1) Если последовательность не убывает, то
2) Если последовательность не возрастает, то
Рассмотрим первый случай.
По определению :
Т.к. не убывает, то при
при
при .
Второй случай рассматривается аналогично.