1. Сумма двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Пусть и - бесконечно малые последовательности.
: ,
: ,
, :
2. Разность двух бесконечно малых последовательностей есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство. Эта теорема доказывается аналогично теореме о сумме двух бесконечно малых последовательностей, только вместо надо взять .
3. Бесконечно малая последовательность ограничена.
Доказательство. { , , ..., }
: .
4. Произведение ограниченной последовательности на бесконечно малую есть бесконечно малая последовательность.
Доказательство.
бесконечно малая, - ограниченная.
: ,
: ,
:
.
5. Если все элементы бесконечно малой последовательности, начиная с некоторого номера, равны одному и тому же числу, то это число - ноль.
Доказательство.
- бесконечно малая последовательность.
При ≥ выполнено, что . Предположим, .
Рассмотрим . : .
Положим , , тогда при , - противоречие, значит, .
6 (а). Если - бесконечно большая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность , причём она является бесконечно малой.
6 (б). Если - бесконечно малая последовательность, то начиная с некоторого номера определена последовательность , причём она является бесконечно большой.
Доказательство. : .
Из этого видно, что начиная с определённого номера , а это значит, что последовательность определена.
- бесконечно малая.
Вторая часть теоремы доказывается аналогично.