Предел последовательности/Сходимость и огранниченность. Предельный переход в неравенстве

Теорема об ограниченности сходящейся последовательности.  Если $\{a_{n}\}$ сходится, то она ограничена.

Доказательство. $\{a_{n}\}$ сходящаяся $\Rightarrow \forall \varepsilon >0\quad \exists N(\varepsilon ):|a_{n}-a|<\varepsilon ,\forall n>N.$

Возьмём $\varepsilon =1\Rightarrow \forall n>N(1):a-1<a_{n}<a+1.$

Обозначим $M=\max\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{N},a+1\}\Rightarrow \forall n\quad a_{n}\leqslant M$

$m=\min\{a_{1},a_{2},\dots ,a_{N},a-1\}\Rightarrow \forall n\quad a_{n}\geqslant m$

Отсюда для обоих случаев $\forall n:m\leqslant a_{n}\leqslant M.$

Замечание. обратное не верно, то есть из ограниченности не следует сходимость

Теорема о предельном переходе в неравенстве.  Пусть ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=a,{\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=b.$\\ $\forall n>N_{0}:a_{n}\leqslant b_{n}.$тогда$a\leqslant b$

Доказательство. (от противного)

Пусть $a>b$.

$\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{1}(\varepsilon ):|a_{n}-a|<\varepsilon ,\forall n>N_{1}.\forall \varepsilon >0\quad \exists N_{2}(\varepsilon ):|b_{n}-b|<\varepsilon ,\forall n>N_{2}.$

$\varepsilon ={\frac {a-b}{2}}>0N=\max \left\{N_{0},N_{1}\left({\frac {a-b}{2}}\right),N_{2}\left({\frac {a-b}{2}}\right)\right\}\forall n>N$

$\left\{{\begin{matrix}a_{n}\leqslant b_{n}&\\|a_{n}-a|<&{\frac {a-b}{2}}\Rightarrow {\frac {a+b}{2}}<a_{n}<{\frac {3a-b}{2}}\\|b_{n}-b|<&{\frac {a-b}{2}}\Rightarrow {\frac {3b-a}{2}}<b_{n}<{\frac {a+b}{2}}\end{matrix}}\right.$

${\frac {a+b}{2}}<a_{n}\leqslant b_{n}<{\frac {a+b}{2}}\Rightarrow {\frac {a+b}{2}}<{\frac {a+b}{2}}$ - противоречие.

Теорема о промежуточной последовательности. 

Пусть ${\underset {n\to \infty }{\lim }}a_{n}=a,{\underset {n\to \infty }{\lim }}c_{n}=a.$

$\forall n>N_{0}:a_{n}\leqslant b_{n}\leqslant c_{n}.$тогда $\exists {\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=a.$

Доказательство. $\forall n>N_{0}:\exists N_{1}(\varepsilon ):|a_{n}-a|<\varepsilon ,\forall n>N_{1}.\exists N_{2}(\varepsilon ):|c_{n}-a|<\varepsilon ,\forall n>N_{2}.$

Возьмём произвольный $\varepsilon >0$

$N=\max \left\{N_{0},N_{1}\left(\varepsilon \right),N_{2}\left(\varepsilon \right)\right\}$, тогда

$\forall n>N(\varepsilon ):a-\varepsilon <b_{n}<a+\varepsilon \Rightarrow |b_{n}-a|<\varepsilon \Rightarrow {\underset {n\to \infty }{\lim }}b_{n}=a.$