Ряды Фурье

Материал из Викиверситета
Перейти к навигации Перейти к поиску

В пространстве кусочно-непрерывных на функций рассмотрим так называемую тригонометрическую систему функций

Система является ортогональной в пространстве кусочно-непрерывных на функций. Докажем это:

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции находятся по формулам

(обозначение)

Формальный ряд , где коэффициенты вычисляются по формулам называется тригонометрическим рядом Фурье функции . Формулы называются формулами Эйлера-Фурье.

Вопросы: при каких условиях на функцию ряд сходится? сходится к функции ?

Определение. Функция называется кусочно-монотонной на , если отрезок можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.


Обозначим: и

Теорема Дирихле.  (без доказательсва)

Пусть - периодическая функция, кусочно-непрерывная и кусочно-монотонная на . Тогда тригонометрический ряд Фурье функции схоидится на , причем для его суммы справедливы равенства:

  1. , если и функция непрерывна в точке
  2. если и - точка разыва

Пусть - бесконечномерное Евклидово пространство (например непрерывных на функций) - скалярное произведение.

Определение. Функция называется кусочно непрерывной на функцией, если она непрерывна на за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв первого рода.


Определение. Система функций - ортонормированная система функций из . Пусть . Тогда числа называются коэффициентами Фурье элемента по ортонормированной системе . Формальный ряд называется обобщенным рядом фурье элемента по ортонормированной системе (где - коэффициенты Фурье элемента по ортонормированной системе )


Теорема о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.  (без доказательства)

Пусть функция - непрерывна на и имеет на этом отрезке кусочно-непрерывную производную и . Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно на .

Частные случаи:

  1. Пусть - нечетная функция - нечетная функция. . Тогда тригонометрический ряд Фурье нечетный функции имеет вид
  2. Пусть - четная функция - нечетная функция. . Тогда тригонометрический ряд Фурье нечетный функции имеет вид