Ряды Фурье

В пространстве кусочно-непрерывных на $[-\pi ;\pi ]$ функций рассмотрим так называемую тригонометрическую систему функций

$(1):1,\cos x,\sin x,\cos 2x,sin2x,\dots ,cosnx,sinnx,\dots$

Система $(1)$ является ортогональной в пространстве кусочно-непрерывных на $[-\pi ;\pi ]$ функций. Докажем это:

$(1,cosnx)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos nxdx={\frac{\sin nx}{n}|}_{-\pi }^{\pi }=0$

$(1,sinnx)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\sin nxdx=-{\frac{\cos nx}{n}|}_{-\pi }^{\pi }=0$

$n≠m:(\cos nx,\cos mx)=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}[\cos (n+m)x+\cos (n-m)x]dx=\frac{1}{2}{(\frac{\sin (n+m)x}{n+m}+\frac{\sin (n+m)x}{n+m})|}_{-\pi }^{\pi }=0$

$n≠m:(sinnx,sinmx)=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}[\cos (n-m)x-\cos (n+m)x]dx=\frac{1}{2}{(\frac{\sin (n-m)x}{n-m}-\frac{\sin (n+m)x}{n+m})|}_{-\pi }^{\pi }=0$

$(sinnx,cosmx)=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}[\sin (n+m)x+\sin (n-m)x]dx=-\frac{1}{2}{(\frac{\cos (n-m)x}{n-m}+\frac{\cos (n+m)x}{n+m})|}_{-\pi }^{\pi }=0$

Коэффициенты тригонометрического ряда Фурье функции $f$ находятся по формулам

$(1,1)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}dx=2\pi$

$(\cos kx,\cos kx)=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}{\cos }^{2}kxdx=\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\frac{1+\cos 2kx}{2}dx=\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}dx+\frac{1}{2}\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}\cos 2kxdx=\pi$

$(\sin kx,\sin kx)=\pi$

$c_0=\frac{(f,1)}{(1,1)}=\frac{1}{2\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx=\frac{a_0}{2}$ (обозначение) $(2)$

$c_{2k-1}=\frac{(f,\cos kx)}{(\cos kx,\cos kx)}=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos kxdx=a_k,k=1,2,\dots (3)$

$c_{2k}=\frac{(f,\sin kx)}{(\sin kx,\sin kx)}=\frac{1}{\pi }\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin kxdx=b_k,k=1,2,\dots (4)$

Формальный ряд $\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}(a_{k}coskx+b_{k}sinkx)(5)$, где коэффициенты $a_0,a_k,b_k$ вычисляются по формулам $(2),(3),(4)$ называется тригонометрическим рядом Фурье функции $f$. Формулы $(2),(3),(4)$ называются формулами Эйлера-Фурье.

Вопросы: при каких условиях на функцию $f$ ряд $(5)$ сходится? сходится к функции $f$?

Определение. Функция называется кусочно-монотонной на $[a,b]$, если отрезок $[a,b]$ можно разбить на конечное число промежутков, на каждом из которых функция монотонна.

Обозначим: $f(x_0-0)=\underset{x\to x_0-0}{lim}f(x)$ и $f(x_0+0)=\underset{x\to x_0+0}{lim}f(x)$

Теорема Дирихле.  (без доказательства)

Пусть $f(x)$ - $2\pi$ периодическая функция, кусочно-непрерывная и кусочно-монотонная на $[-\pi ;\pi ]$. Тогда тригонометрический ряд Фурье функции $f(x)$ схоидится на $[-\pi ;\pi ]$, причем для его суммы $S(x)$ справедливы равенства:

1. $S(x)=f(x)$, если $x\in (-\pi ;\pi )$ и функция $f(x)$ непрерывна в точке $x$
2. $S(x)=\frac{1}{2}(f(x+0)+f(x-0))$ если $x\in (-\pi ;\pi )$ и $x$ - точка разыва $f(x)$
3. $S(-\pi )=S(\pi )=\frac{1}{2}(f(-\pi +0)+f(\pi -0))$

Пусть $L$ - бесконечномерное Евклидово пространство (например непрерывных на $[a,b]$ функций) $\Rightarrow (f,g)=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f(x)g(x)dx$ - скалярное произведение.

Определение. Функция называется кусочно непрерывной на $[a,b]$ функцией, если она непрерывна на $[a,b]$ за исключением конечного числа точек, в которых функция имеет разрыв первого рода.

Определение. Система функций $\{{\varphi }_n\}$ - ортонормированная система функций из $L$. Пусть $f\in L$. Тогда числа $c_1=({\varphi }_n,f),n=1,2,\dots$ называются коэффициентами Фурье элемента $f$ по ортонормированной системе $\{{\varphi }_n\}$ . Формальный ряд $\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{c}_n{\varphi }_n$ называется обобщенным рядом фурье элемента $f$ по ортонормированной системе $\{{\varphi }_n\}$ (где $c_n,n=1,2,\dots$ - коэффициенты Фурье элемента $f$ по ортонормированной системе $\{{\varphi }_n\}$ )

Теорема о равномерной сходимости тригонометрического ряда Фурье.  (без доказательства)

Пусть функция $f(x)$ - непрерывна на $[-\pi ;\pi ]$ и имеет на этом отрезке кусочно-непрерывную производную и $f(-\pi )=f(\pi )$. Тогда тригонометрический ряд Фурье сходится равномерно на $[-\pi ;\pi ]$.

Частные случаи:

1. Пусть $f(x)$ - нечетная функция $\Rightarrow \{f(x)\cos kx\}$ - нечетная функция. $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)dx=0\Rightarrow a_0=0,\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\cos kxdx=0\Rightarrow a_k=0$. Тогда тригонометрический ряд Фурье нечетный функции имеет вид $\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{b}_k\sin kx$
2. Пусть $f(x)$ - четная функция $\Rightarrow \{f(x)\sin kx\}$ - нечетная функция. $\underset{-\pi }{\overset{\pi }{\int }}f(x)\sin kxdx=0\Rightarrow b_k=0$. Тогда тригонометрический ряд Фурье нечетный функции имеет вид $\frac{a_0}{2}+\sum _{k=1}^{\mathrm{\infty }}{a}_k\cos kx$